Номер 784, страница 141 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Состояние 1:

$p_1 = 4,0 \cdot 10^5$ Па

$V_1 = 3,0$ м$^3$

Состояние 2:

$p_2 = 2,0 \cdot 10^5$ Па

$V_2 = 1,0$ м$^3$

Процесс I: изобарное сжатие, затем изохорное охлаждение.

Процесс II: изохорное охлаждение, затем изобарное сжатие.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\Delta Q$ - разность выделяемых количеств теплоты.

В каком случае выделяется большее количество теплоты?

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, переданное системе, идет на изменение ее внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение системой работы $A$ над внешними телами: $Q = \Delta U + A$.

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ идеального газа зависит только от начального (1) и конечного (2) состояний и не зависит от пути перехода. В данной задаче начальное и конечное состояния фиксированы, следовательно, $\Delta U = U_2 - U_1$ одинаково для обоих процессов.

Обозначим количество теплоты и работу для первого способа как $Q_I$ и $A_I$, а для второго — $Q_{II}$ и $A_{II}$.

$Q_I = \Delta U + A_I$

$Q_{II} = \Delta U + A_{II}$

Разность подведенных количеств теплоты равна разности работ, совершенных газом:

$Q_I - Q_{II} = (\Delta U + A_I) - (\Delta U + A_{II}) = A_I - A_{II}$.

Работа, совершаемая газом в термодинамическом процессе, численно равна площади под графиком процесса на диаграмме $p-V$. Рассчитаем работу для каждого способа.

Процесс I: изобарное сжатие, а затем изохорное охлаждение.

1. Изобарное сжатие при постоянном давлении $p_1$ от объема $V_1$ до $V_2$. Работа, совершаемая газом: $A_{1a} = p_1(V_2 - V_1)$.

2. Изохорное охлаждение при постоянном объеме $V_2$. Поскольку объем не меняется, работа не совершается: $A_{1b} = 0$.

Полная работа для первого способа: $A_I = A_{1a} + A_{1b} = p_1(V_2 - V_1)$.

$A_I = 4,0 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot (1,0 \text{ м}^3 - 3,0 \text{ м}^3) = 4,0 \cdot 10^5 \cdot (-2,0) = -8,0 \cdot 10^5 \text{ Дж}$.

Процесс II: изохорное охлаждение, а затем изобарное сжатие.

1. Изохорное охлаждение при постоянном объеме $V_1$. Работа не совершается: $A_{2a} = 0$.

2. Изобарное сжатие при постоянном давлении $p_2$ от объема $V_1$ до $V_2$. Работа, совершаемая газом: $A_{2b} = p_2(V_2 - V_1)$.

Полная работа для второго способа: $A_{II} = A_{2a} + A_{2b} = p_2(V_2 - V_1)$.

$A_{II} = 2,0 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot (1,0 \text{ м}^3 - 3,0 \text{ м}^3) = 2,0 \cdot 10^5 \cdot (-2,0) = -4,0 \cdot 10^5 \text{ Дж}$.

Отрицательный знак работы в обоих случаях означает, что работа совершалась не газом, а над газом.

Определите разность выделяемых количеств теплоты ΔQ.

Количество выделенной теплоты $Q_{вых}$ связано с количеством подведенной теплоты $Q$ соотношением $Q_{вых} = -Q$.

Разность подведенной теплоты: $Q_I - Q_{II} = A_I - A_{II} = (-8,0 \cdot 10^5 \text{ Дж}) - (-4,0 \cdot 10^5 \text{ Дж}) = -4,0 \cdot 10^5 \text{ Дж}$.

Разность выделяемых количеств теплоты $\Delta Q$ равна модулю разности количеств подведенной теплоты:

$\Delta Q = |Q_{вых, I} - Q_{вых, II}| = |(-Q_I) - (-Q_{II})| = |Q_{II} - Q_I| = |-(Q_I - Q_{II})| = |-(-4,0 \cdot 10^5 \text{ Дж})| = 4,0 \cdot 10^5 \text{ Дж}$.

Ответ: Разность выделяемых количеств теплоты составляет $4,0 \cdot 10^5$ Дж.

В каком случае выделяется большее количество теплоты?

Чтобы определить, в каком случае выделяется большее количество теплоты, сравним $Q_{вых, I}$ и $Q_{вых, II}$.

Из соотношения $Q_I - Q_{II} = -4,0 \cdot 10^5 \text{ Дж}$ следует, что $Q_I < Q_{II}$.

Так как в обоих случаях газ сжимают и охлаждают (произведение $pV$ уменьшается, что говорит об уменьшении температуры и внутренней энергии), а также над газом совершают работу (сжатие), то в обоих процессах теплота выделяется, то есть $Q_I < 0$ и $Q_{II} < 0$.

Для отрицательных чисел, если $Q_I < Q_{II}$, то их модули соотносятся как $|Q_I| > |Q_{II}|$.

Поскольку выделяемая теплота $Q_{вых} = |Q|$, то отсюда следует, что $Q_{вых, I} > Q_{вых, II}$.

Ответ: Большее количество теплоты выделяется в первом случае (путем изобарного сжатия, а затем изохорного охлаждения).