Номер 782, страница 140 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$V_1 = 1,0 \text{ м}^3$

$p_1 = 2,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$V_2 = 3,0 \text{ м}^3$

$Q = 2,4 \text{ МДж} = 2,4 \cdot 10^6 \text{ Дж}$

Газ — идеальный одноатомный.

Найти:

$p_2$

Решение:

Процесс состоит из двух этапов: изобарного нагревания (1-2) и изохорного нагревания (2-3). Общее количество теплоты, полученное газом, равно сумме теплоты, полученной на каждом этапе: $Q = Q_{12} + Q_{23}$.

Согласно первому закону термодинамики, общее количество теплоты $Q$, переданное газу, идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$ над внешними телами:

$Q = \Delta U + A$

Работа $A$ совершается газом только на первом, изобарном, этапе, так как на втором, изохорном, этапе объем газа не меняется ($A_{23}=0$).

$A = A_{12} = p_1(V_2 - V_1)$

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ идеального газа зависит только от начального и конечного состояний. Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия вычисляется по формуле $U = \frac{3}{2}pV$.

Начальная внутренняя энергия (состояние 1):

$U_1 = \frac{3}{2}p_1V_1$

Конечная внутренняя энергия (состояние 3, которое в задаче обозначено индексом 2 для давления и объема):

$U_2 = \frac{3}{2}p_2V_2$

Полное изменение внутренней энергии:

$\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1)$

Подставим выражения для работы $A$ и изменения внутренней энергии $\Delta U$ в первый закон термодинамики:

$Q = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) + p_1(V_2 - V_1)$

Выразим из этого уравнения искомое конечное давление $p_2$.

$Q - p_1(V_2 - V_1) = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1)$

$\frac{2}{3}(Q - p_1(V_2 - V_1)) = p_2V_2 - p_1V_1$

$p_2V_2 = \frac{2}{3}(Q - p_1(V_2 - V_1)) + p_1V_1$

$p_2 = \frac{1}{V_2}\left[\frac{2}{3}(Q - p_1(V_2 - V_1)) + p_1V_1\right]$

Подставим числовые значения:

$p_2 = \frac{1}{3,0 \text{ м}^3}\left[\frac{2}{3}(2,4 \cdot 10^6 \text{ Дж} - 2,0 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot (3,0 \text{ м}^3 - 1,0 \text{ м}^3)) + 2,0 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 1,0 \text{ м}^3\right]$

$p_2 = \frac{1}{3}\left[\frac{2}{3}(2,4 \cdot 10^6 - 2,0 \cdot 10^5 \cdot 2,0) + 2,0 \cdot 10^5\right]$

$p_2 = \frac{1}{3}\left[\frac{2}{3}(2,4 \cdot 10^6 - 0,4 \cdot 10^6) + 0,2 \cdot 10^6\right]$

$p_2 = \frac{1}{3}\left[\frac{2}{3}(2,0 \cdot 10^6) + 0,2 \cdot 10^6\right]$

$p_2 = \frac{1}{3}\left[\frac{4}{3} \cdot 10^6 + 0,2 \cdot 10^6\right] = \frac{1}{3}\left[(\frac{4}{3} + \frac{2}{10}) \cdot 10^6\right] = \frac{1}{3}\left[(\frac{4}{3} + \frac{1}{5}) \cdot 10^6\right]$

$p_2 = \frac{1}{3}\left[\frac{20+3}{15} \cdot 10^6\right] = \frac{1}{3} \cdot \frac{23}{15} \cdot 10^6 = \frac{23}{45} \cdot 10^6 \text{ Па}$

$p_2 \approx 0,511 \cdot 10^6 \text{ Па} = 5,11 \cdot 10^5 \text{ Па}$

С учетом значащих цифр исходных данных, округляем до двух знаков.

$p_2 \approx 5,1 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Ответ: $p_2 \approx 5,1 \cdot 10^5 \text{ Па}$.