Номер 789, страница 142 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Газ: одноатомный идеальный

$v = 1.0 \text{ моль}$

$t_1 = t_2 = 27^\circ \text{C}$

$V_3 = 2.5 V_1$

Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}$

Переведем температуру в систему СИ (в кельвины):

$T_1 = T_2 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

Найти:

$Q_{23}$

Решение:

Количество теплоты $Q$, полученное газом, определяется первым началом термодинамики: $Q = \Delta U + A$, где $\Delta U$ – изменение внутренней энергии газа, а $A$ – работа, совершенная газом.

Процесс $2 \rightarrow 3$ является изохорным (происходит при постоянном объеме), так как на графике в координатах $p,V$ он представлен вертикальной линией. Это означает, что объем газа не изменяется, $V_2 = V_3$.

Работа газа в изохорном процессе равна нулю, так как $\Delta V = 0$:

$A_{23} = 0$

Следовательно, согласно первому началу термодинамики, все подведенное к газу тепло идет на увеличение его внутренней энергии:

$Q_{23} = \Delta U_{23}$

Газ является одноатомным идеальным, поэтому его внутренняя энергия определяется формулой $U = \frac{3}{2}vRT$. Изменение внутренней энергии на участке $2 \rightarrow 3$ равно:

$\Delta U_{23} = U_3 - U_2 = \frac{3}{2}vR(T_3 - T_2)$

Таким образом, для нахождения $Q_{23}$ нам нужно определить температуру газа в состоянии 3 ($T_3$). Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) $pV = vRT$ для состояний 1 и 3.

Для состояния 1: $p_1V_1 = vRT_1$

Для состояния 3: $p_3V_3 = vRT_3$

Из графика видно, что процесс $3 \rightarrow 1$ является изобарным (давление постоянно), следовательно, $p_3 = p_1$.

По условию задачи дано соотношение объемов: $V_3 = 2.5V_1$.

Подставим эти соотношения в уравнение для состояния 3:

$p_1(2.5V_1) = vRT_3 \implies 2.5(p_1V_1) = vRT_3$

Из уравнения для состояния 1 мы знаем, что $p_1V_1 = vRT_1$. Подставим это выражение в преобразованное уравнение для состояния 3:

$2.5(vRT_1) = vRT_3$

Сократив $vR$, получаем соотношение между температурами в состояниях 1 и 3:

$T_3 = 2.5T_1$

Поскольку по условию $T_1 = T_2$, то $T_3 = 2.5T_2$.

Теперь мы можем рассчитать искомое количество теплоты $Q_{23}$:

$Q_{23} = \frac{3}{2}vR(T_3 - T_2) = \frac{3}{2}vR(2.5T_2 - T_2) = \frac{3}{2}vR(1.5T_2) = 2.25vRT_2$

Подставим числовые значения:

$Q_{23} = 2.25 \cdot 1.0 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К} \approx 5609.25 \text{ Дж}$

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью данных в условии ($1.0$ моль, $2.5$).

$Q_{23} \approx 5.6 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 5.6 \text{ кДж}$.

Ответ: количество теплоты, полученное газом на участке $2 \rightarrow 3$, равно приблизительно $5.6 \text{ кДж}$.