Номер 794, страница 143 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Тип газа: идеальный одноатомный

Количество вещества: $ \nu = 1,0 \text{ моль} $

Изменение температуры: $ \Delta T = 20 \text{ К} $

Зависимость давления от объема: $ P = kV $, где $k$ - константа

Универсальная газовая постоянная: $ R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} $

Найти:

$Q$ - количество теплоты

Решение:

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты $Q$, сообщенное газу, идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$:

$ Q = \Delta U + A $

1. Найдем изменение внутренней энергии $\Delta U$ для одноатомного идеального газа. Оно зависит только от изменения температуры:

$ \Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T $

2. Найдем работу $A$, совершаемую газом. Работа газа определяется как площадь под графиком процесса в координатах $P-V$. Для произвольного процесса работа вычисляется по формуле:

$ A = \int_{V_1}^{V_2} P dV $

По условию, давление прямо пропорционально объему, то есть $ P = kV $, где $k$ - некоторая константа. Подставим это выражение в формулу для работы:

$ A = \int_{V_1}^{V_2} kV dV = k \left( \frac{V_2^2}{2} - \frac{V_1^2}{2} \right) = \frac{1}{2}k(V_2^2 - V_1^2) $

Теперь воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$ PV = \nu RT $

Подставим в него зависимость $P = kV$:

$ (kV)V = \nu RT \Rightarrow kV^2 = \nu RT $

Тогда для начального и конечного состояний имеем:

$ kV_1^2 = \nu RT_1 $

$ kV_2^2 = \nu RT_2 $

Подставим эти выражения в формулу для работы:

$ A = \frac{1}{2}(\nu RT_2 - \nu RT_1) = \frac{1}{2}\nu R(T_2 - T_1) = \frac{1}{2}\nu R \Delta T $

3. Теперь мы можем найти общее количество теплоты $Q$, подставив выражения для $\Delta U$ и $A$ в первое начало термодинамики:

$ Q = \Delta U + A = \frac{3}{2} \nu R \Delta T + \frac{1}{2} \nu R \Delta T = \left( \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \right) \nu R \Delta T = 2 \nu R \Delta T $

Подставим числовые значения:

$ Q = 2 \cdot 1,0 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 20 \text{ К} = 332,4 \text{ Дж} $

Ответ: необходимо сообщить газу количество теплоты, равное $332,4 \text{ Дж}$.