Номер 799, страница 144 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальное соотношение температур: $T_{1} = 2T_{2}$

Конечное соотношение температур: $T'_{1} = T_{1}$, $T'_{2} = \frac{T_{2}}{2}$

(где $T_{1}, T_{2}$ — начальные абсолютные температуры нагревателя и холодильника; $T'_{1}, T'_{2}$ — конечные)

Найти:

Процентное изменение КПД: $\frac{\eta_{2} - \eta_{1}}{\eta_{1}} \cdot 100\%$

Решение:

Термический коэффициент полезного действия (КПД) идеального теплового двигателя (работающего по циклу Карно) вычисляется по формуле:

$\eta = \frac{T_{нагр} - T_{хол}}{T_{нагр}} = 1 - \frac{T_{хол}}{T_{нагр}}$

где $T_{нагр}$ и $T_{хол}$ — абсолютные температуры нагревателя и холодильника соответственно.

1. Вычислим начальный КПД ($\eta_{1}$).

Используем начальное условие $T_{1} = 2T_{2}$:

$\eta_{1} = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}} = 1 - \frac{T_{2}}{2T_{2}} = 1 - \frac{1}{2} = 0.5$

2. Вычислим конечный КПД ($\eta_{2}$).

Температура нагревателя осталась прежней ($T'_{1} = T_{1}$), а температура холодильника уменьшилась вдвое ($T'_{2} = \frac{T_{2}}{2}$).

$\eta_{2} = 1 - \frac{T'_{2}}{T'_{1}} = 1 - \frac{T_{2}/2}{T_{1}} = 1 - \frac{T_{2}}{2T_{1}}$

Подставим в это выражение исходное соотношение $T_{1} = 2T_{2}$:

$\eta_{2} = 1 - \frac{T_{2}}{2(2T_{2})} = 1 - \frac{T_{2}}{4T_{2}} = 1 - \frac{1}{4} = 0.75$

3. Найдем процентное изменение КПД.

Процентное изменение рассчитывается как отношение абсолютного изменения к начальному значению, умноженное на 100%:

$\Delta\eta_{\%} = \frac{\eta_{2} - \eta_{1}}{\eta_{1}} \cdot 100\%$

Подставляем вычисленные значения $\eta_{1}=0.5$ и $\eta_{2}=0.75$:

$\Delta\eta_{\%} = \frac{0.75 - 0.5}{0.5} \cdot 100\% = \frac{0.25}{0.5} \cdot 100\% = 0.5 \cdot 100\% = 50\%$

Таким образом, КПД двигателя увеличился на 50%.

Ответ:

Термический коэффициент полезного действия увеличится на 50%.