Номер 806, страница 145 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Идеальный одноатомный газ

Цикл состоит из двух изохор и двух изобар

$p_{max} = 2 \cdot p_{min}$

$V_{max} = 3 \cdot V_{min}$

Найти:

$\eta$ - ?

Решение:

Термический коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется по формуле:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{Q_{нагревателя}} \cdot 100\%$

где $A_{полезная}$ — полезная работа, совершенная газом за цикл, а $Q_{нагревателя}$ — количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл.

Цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, в координатах $p-V$ представляет собой прямоугольник. Полезная работа за цикл равна площади этого прямоугольника.

Обозначим минимальное давление $p_{min} = p_0$ и минимальный объем $V_{min} = V_0$. Тогда максимальное давление $p_{max} = 2p_0$ и максимальный объем $V_{max} = 3V_0$.

Работа за цикл:

$A_{полезная} = (p_{max} - p_{min})(V_{max} - V_{min}) = (2p_0 - p_0)(3V_0 - V_0) = p_0 \cdot 2V_0 = 2p_0V_0$

Количество теплоты газ получает на участках, где его температура растет. Это происходит при изохорном нагревании (от $V_0, p_0$ до $V_0, 2p_0$) и при изобарном расширении (от $V_0, 2p_0$ до $3V_0, 2p_0$).

1. Изохорное нагревание (процесс 1-2).

Объем постоянен ($V_1 = V_2 = V_0$), работа не совершается ($A_{12} = 0$). По первому закону термодинамики, полученное тепло идет на изменение внутренней энергии:

$Q_{12} = \Delta U_{12}$

Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии равно:

$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1)$

$Q_{12} = \frac{3}{2}(p_{max}V_{min} - p_{min}V_{min}) = \frac{3}{2}V_0(2p_0 - p_0) = \frac{3}{2}p_0V_0$

2. Изобарное расширение (процесс 2-3).

Давление постоянно ($p_2 = p_3 = p_{max} = 2p_0$). Количество теплоты, полученное газом при изобарном процессе, определяется по формуле:

$Q_{23} = \nu C_p \Delta T$

Для одноатомного идеального газа молярная теплоемкость при постоянном давлении $C_p = \frac{5}{2}R$.

$Q_{23} = \frac{5}{2}\nu R (T_3 - T_2) = \frac{5}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{5}{2}p_{max}(V_{max} - V_{min})$

$Q_{23} = \frac{5}{2}(2p_0)(3V_0 - V_0) = \frac{5}{2}(2p_0)(2V_0) = 10p_0V_0$

Общее количество теплоты, полученное от нагревателя, равно сумме теплот на участках нагревания:

$Q_{нагревателя} = Q_{12} + Q_{23} = \frac{3}{2}p_0V_0 + 10p_0V_0 = (\frac{3}{2} + \frac{20}{2})p_0V_0 = \frac{23}{2}p_0V_0$

Теперь можем найти КПД цикла:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{Q_{нагревателя}} = \frac{2p_0V_0}{\frac{23}{2}p_0V_0} = \frac{2}{\frac{23}{2}} = \frac{4}{23}$

Выразим ответ в процентах:

$\eta = \frac{4}{23} \cdot 100\% \approx 17.4\%$

Ответ: $\eta = \frac{4}{23}$ или примерно 17.4%.