Номер 808, страница 145 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Газ - идеальный, одноатомный.
Процесс 1-2: изохорный ($V = const$).
Процесс 2-3: изобарный ($p = const$).
Процесс 3-1: сжатие, $p \propto V$.
Увеличение давления в процессе 1-2: $k = 40\% = 0.4$.

Найти:

Термический КПД цикла $\eta$.

Решение:

Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла определяется формулой:

$\eta = \frac{A}{Q_{нагр}}$,

где $A$ – полезная работа, совершённая газом за цикл, а $Q_{нагр}$ – количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл.

Рассмотрим состояния газа в точках 1, 2, 3, характеризующиеся параметрами $(p, V, T)$.

Пусть в начальном состоянии 1 параметры газа равны $p_1, V_1, T_1$.

Процесс 1-2: изохорное нагревание.

Объем газа не меняется: $V_2 = V_1$.

Давление возрастает на $k = 40\%$: $p_2 = p_1 + 0.4 p_1 = 1.4 p_1$.

Поскольку объем постоянен, работа газа в этом процессе равна нулю: $A_{12} = 0$.

Газ получает тепло. Для одноатомного идеального газа количество теплоты при изохорном процессе:

$Q_{12} = \Delta U_{12} = \frac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1)$.

Используя уравнение состояния идеального газа ($pV = \nu RT$), выразим количество теплоты через $p$ и $V$:

$Q_{12} = \frac{3}{2}(p_2 V_2 - p_1 V_1) = \frac{3}{2}(1.4 p_1 V_1 - p_1 V_1) = \frac{3}{2}(0.4 p_1 V_1) = 0.6 p_1 V_1$.

Так как $Q_{12} > 0$, это теплота, полученная от нагревателя.

Процесс 3-1: сжатие с $p \propto V$.

Для этого процесса справедливо соотношение $p/V = const$. Значит, для состояний 1 и 3:

$\frac{p_1}{V_1} = \frac{p_3}{V_3}$.

Процесс 2-3: изобарное расширение.

Давление газа не меняется: $p_3 = p_2 = 1.4 p_1$.

Теперь мы можем найти объем $V_3$ из соотношения для процесса 3-1:

$\frac{p_1}{V_1} = \frac{1.4 p_1}{V_3} \implies V_3 = 1.4 V_1$.

В процессе 2-3 газ расширяется, совершая работу $A_{23}$ и получая теплоту $Q_{23}$.

Работа при изобарном расширении:

$A_{23} = p_2(V_3 - V_2) = 1.4 p_1 (1.4 V_1 - V_1) = 1.4 p_1 (0.4 V_1) = 0.56 p_1 V_1$.

Количество теплоты для одноатомного газа при изобарном процессе:

$Q_{23} = \frac{5}{2}\nu R(T_3 - T_2) = \frac{5}{2}(p_3 V_3 - p_2 V_2) = \frac{5}{2}p_2(V_3 - V_2) = \frac{5}{2}(1.4 p_1)(1.4 V_1 - V_1) = 3.5 p_1 (0.4 V_1) = 1.4 p_1 V_1$.

Так как $Q_{23} > 0$, это также теплота, полученная от нагревателя.

Возвращаемся к процессу 3-1. Это сжатие от объема $V_3$ до $V_1$. Работа $A_{31}$ в этом процессе отрицательна. Она равна площади трапеции под графиком процесса в координатах $p-V$, взятой со знаком минус:

$A_{31} = \frac{p_3 + p_1}{2}(V_1 - V_3) = \frac{1.4 p_1 + p_1}{2}(V_1 - 1.4 V_1) = \frac{2.4 p_1}{2}(-0.4 V_1) = -0.48 p_1 V_1$.

В процессе 3-1 газ отдает тепло холодильнику, так как и объем, и давление уменьшаются.

Расчет КПД.

Полезная работа за цикл равна сумме работ на всех участках:

$A = A_{12} + A_{23} + A_{31} = 0 + 0.56 p_1 V_1 - 0.48 p_1 V_1 = 0.08 p_1 V_1$.

Количество теплоты, полученное от нагревателя, — это сумма положительных количеств теплоты:

$Q_{нагр} = Q_{12} + Q_{23} = 0.6 p_1 V_1 + 1.4 p_1 V_1 = 2.0 p_1 V_1$.

Теперь можем найти КПД:

$\eta = \frac{A}{Q_{нагр}} = \frac{0.08 p_1 V_1}{2.0 p_1 V_1} = \frac{0.08}{2.0} = 0.04$.

В процентах это составляет $4\%$.

Ответ: $\eta = 0.04$ или $4\%$.