Номер 809, страница 146 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Циклический процесс с идеальным одноатомным газом, представленный на p-V диаграмме.

Параметры состояний:

Состояние 1: давление $p_1 = p_0$, объем $V_1 = V_0$.

Состояние 2: давление $p_2 = 4p_0$, объем $V_2 = V_0$.

Состояние 3: давление $p_3 = 4p_0$, объем $V_3 = 2V_0$.

Найти:

Термический коэффициент полезного действия цикла $η$.

Решение

Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла определяется по формуле:

$η = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}}$,

где $A_{цикла}$ — полезная работа, совершаемая газом за цикл, а $Q_{нагр}$ — количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл.

Работа газа за цикл $A_{цикла}$ численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла на диаграмме p-V. В данном случае это площадь прямоугольного треугольника с вершинами в точках 1, 2, 3.

$A_{цикла} = \frac{1}{2} \cdot (p_2 - p_1) \cdot (V_3 - V_2) = \frac{1}{2} \cdot (4p_0 - p_0) \cdot (2V_0 - V_0) = \frac{1}{2} \cdot 3p_0 \cdot V_0 = \frac{3}{2}p_0V_0$.

Количество теплоты $Q_{нагр}$ газ получает на участках, где его температура растет. Согласно уравнению состояния идеального газа $pV = \nu RT$, температура растет, когда произведение $pV$ увеличивается. Проанализируем каждый участок:

1. Участок 1-2 (изохорное нагревание, $V = const$):

$p_1V_1 = p_0V_0$, $p_2V_2 = 4p_0V_0$. Так как $p_2V_2 > p_1V_1$, температура растет, и газ поглощает тепло. Работа на этом участке равна нулю ($A_{12} = 0$). По первому закону термодинамики, полученная теплота равна изменению внутренней энергии:

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \Delta U_{12}$.

Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R\Delta T = \frac{3}{2}\Delta(pV)$.

$Q_{12} = \Delta U_{12} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(4p_0V_0 - p_0V_0) = \frac{3}{2}(3p_0V_0) = \frac{9}{2}p_0V_0$.

2. Участок 2-3 (изобарное расширение, $p = const$):

$p_2V_2 = 4p_0V_0$, $p_3V_3 = 4p_0 \cdot 2V_0 = 8p_0V_0$. Так как $p_3V_3 > p_2V_2$, температура растет, и газ поглощает тепло. Количество теплоты, полученное газом, определяется по первому закону термодинамики:

$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23}$.

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{23} = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{3}{2}(8p_0V_0 - 4p_0V_0) = \frac{3}{2}(4p_0V_0) = 6p_0V_0$.

Работа, совершаемая газом:

$A_{23} = p_2(V_3 - V_2) = 4p_0(2V_0 - V_0) = 4p_0V_0$.

Тогда количество теплоты:

$Q_{23} = 6p_0V_0 + 4p_0V_0 = 10p_0V_0$.

3. Участок 3-1:

$p_3V_3 = 8p_0V_0$, $p_1V_1 = p_0V_0$. Так как $p_1V_1 < p_3V_3$, температура падает, следовательно, газ отдает тепло. Этот участок не входит в $Q_{нагр}$.

Общее количество теплоты, полученное от нагревателя, равно сумме теплот, поглощенных на участках 1-2 и 2-3:

$Q_{нагр} = Q_{12} + Q_{23} = \frac{9}{2}p_0V_0 + 10p_0V_0 = \frac{9p_0V_0 + 20p_0V_0}{2} = \frac{29}{2}p_0V_0$.

Теперь можем вычислить КПД цикла:

$η = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}} = \frac{\frac{3}{2}p_0V_0}{\frac{29}{2}p_0V_0} = \frac{3}{29}$.

Ответ: $η = \frac{3}{29}$.