Номер 816, страница 147 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Цикл 1: $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$

Процессы цикла 1: $1 \rightarrow 2$ - изотерма, $2 \rightarrow 3$ - изохора, $3 \rightarrow 1$ - адиабата.

Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла 1: $\eta_1 = 50\%$

Цикл 2: $1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$

Процессы цикла 2: $1 \rightarrow 3$ - адиабата, $3 \rightarrow 4$ - изотерма, $4 \rightarrow 1$ - изохора.

Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла 2: $\eta_2 = 20\%$

Рабочее тело: идеальный одноатомный газ.

$\eta_1 = 0.5$
$\eta_2 = 0.2$

Найти:

$\eta$ - КПД теплового двигателя, работающего по циклу $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$.

Решение:

КПД теплового двигателя определяется формулой: $\eta = \frac{A}{Q_{нагр}}$, где $A$ - полная работа, совершенная газом за цикл, а $Q_{нагр}$ - количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл.

Рассмотрим искомый цикл $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$.

Работа, совершаемая в этом цикле, равна сумме работ, совершаемых в циклах $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ ($A_1$) и $1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$ ($A_2$), так как процесс $3 \rightarrow 1$ в первом цикле и процесс $1 \rightarrow 3$ во втором цикле являются взаимно обратными адиабатическими процессами, и работа на этих участках ($A_{31}$ и $A_{13}$) в сумме дает ноль ($A_{31} = -A_{13}$).

$A = A_1 + A_2$

Теплота в цикле $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$ подводится на участках $1 \rightarrow 2$ (изотермическое расширение, $Q_{12}$) и $4 \rightarrow 1$ (изохорное нагревание, $Q_{41}$).

$Q_{нагр} = Q_{12} + Q_{41}$

Таким образом, КПД искомого цикла равен:

$\eta = \frac{A_1 + A_2}{Q_{12} + Q_{41}}$

Теперь рассмотрим каждый из данных циклов, чтобы выразить работы $A_1$ и $A_2$ через количества теплоты.

Для цикла 1 ($1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$):

Теплота подводится только на участке изотермического расширения $1 \rightarrow 2$. Таким образом, $Q_{нагр,1} = Q_{12}$.

КПД этого цикла: $\eta_1 = \frac{A_1}{Q_{нагр,1}} = \frac{A_1}{Q_{12}}$. Отсюда $A_1 = \eta_1 Q_{12}$.

Также КПД можно выразить через теплоту, отданную холодильнику: $\eta_1 = 1 - \frac{Q_{хол,1}}{Q_{нагр,1}}$. Теплота отводится на участке изохорного охлаждения $2 \rightarrow 3$, т.е. $Q_{хол,1} = |Q_{23}|$.

$\eta_1 = 1 - \frac{|Q_{23}|}{Q_{12}}$

Для цикла 2 ($1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$):

Теплота подводится только на участке изохорного нагревания $4 \rightarrow 1$. Таким образом, $Q_{нагр,2} = Q_{41}$.

КПД этого цикла: $\eta_2 = \frac{A_2}{Q_{нагр,2}} = \frac{A_2}{Q_{41}}$. Отсюда $A_2 = \eta_2 Q_{41}$.

Подставим выражения для $A_1$ и $A_2$ в формулу для $\eta$:

$\eta = \frac{\eta_1 Q_{12} + \eta_2 Q_{41}}{Q_{12} + Q_{41}}$

Для дальнейшего решения необходимо найти соотношение между $Q_{12}$ и $Q_{41}$.

Рассмотрим количества теплоты на изохорных участках $2 \rightarrow 3$ и $4 \rightarrow 1$. Пусть $T_1$ - температура на изотерме $1 \rightarrow 2$, а $T_3$ - на изотерме $3 \rightarrow 4$.

Количество теплоты, отданное на участке $2 \rightarrow 3$: $Q_{23} = \nu C_V (T_3 - T_1)$. Так как $T_1 > T_3$ (адиабатическое расширение $1 \rightarrow 3$ приводит к охлаждению), $Q_{23} < 0$. Тогда $|Q_{23}| = \nu C_V (T_1 - T_3)$.

Количество теплоты, полученное на участке $4 \rightarrow 1$: $Q_{41} = \nu C_V (T_1 - T_3)$.

Отсюда следует, что $|Q_{23}| = Q_{41}$.

Теперь вернемся к формуле для $\eta_1$:

$\eta_1 = 1 - \frac{|Q_{23}|}{Q_{12}} = 1 - \frac{Q_{41}}{Q_{12}}$

Выразим отсюда отношение $\frac{Q_{41}}{Q_{12}}$:

$\frac{Q_{41}}{Q_{12}} = 1 - \eta_1$

Подставим числовое значение $\eta_1 = 0.5$:

$\frac{Q_{41}}{Q_{12}} = 1 - 0.5 = 0.5$

Это означает, что $Q_{12} = 2Q_{41}$.

Теперь подставим это соотношение в формулу для искомого КПД $\eta$:

$\eta = \frac{\eta_1 (2Q_{41}) + \eta_2 Q_{41}}{2Q_{41} + Q_{41}} = \frac{Q_{41}(2\eta_1 + \eta_2)}{3Q_{41}} = \frac{2\eta_1 + \eta_2}{3}$

Подставим числовые значения $\eta_1 = 0.5$ и $\eta_2 = 0.2$:

$\eta = \frac{2 \cdot 0.5 + 0.2}{3} = \frac{1 + 0.2}{3} = \frac{1.2}{3} = 0.4$

КПД цикла $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$ составляет 40%.

Ответ: $\eta = 40\%$.