Номер 812, страница 146 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Рабочее тело – одноатомный идеальный газ

Количество вещества – $\nu$

Цикл: $1 \rightarrow 2$ – адиабатное расширение, $2 \rightarrow 3$ – изотермическое сжатие, $3 \rightarrow 1$ – изохорный процесс.

Работа, совершенная над газом в изотермическом процессе, – $A$

Разность максимальной и минимальной температур – $\Delta T$

Найти:

Термический коэффициент полезного действия (КПД) – $\eta$

Решение:

Термический коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется по формуле:

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}}$,

где $A_{цикла}$ – работа, совершенная газом за цикл, а $Q_{нагр}$ – количество теплоты, полученное газом от нагревателя.

Рассмотрим процессы, составляющие цикл:

1. Процесс $3 \rightarrow 1$ – изохорное нагревание.

В этом процессе объем газа не меняется ($V_3 = V_1 = const$), следовательно, работа газа равна нулю ($A_{31} = 0$). Из графика видно, что давление в точке 1 выше, чем в точке 3 ($p_1 > p_3$). При постоянном объеме это означает, что температура в точке 1 выше, чем в точке 3 ($T_1 > T_3$). Следовательно, в этом процессе газ нагревается, и его внутренняя энергия увеличивается. Согласно первому закону термодинамики, газ получает количество теплоты $Q_{31} = \Delta U_{31}$. Это и есть тепло, полученное от нагревателя: $Q_{нагр} = Q_{31}$.

2. Процесс $1 \rightarrow 2$ – адиабатное расширение.

Процесс адиабатный, поэтому теплообмен с окружающей средой отсутствует ($Q_{12} = 0$). Газ расширяется, совершая положительную работу $A_{12}$. Эта работа совершается за счет уменьшения внутренней энергии газа ($A_{12} = -\Delta U_{12}$), поэтому температура газа уменьшается ($T_1 > T_2$).

3. Процесс $2 \rightarrow 3$ – изотермическое сжатие.

Процесс изотермический, значит, температура постоянна ($T_2 = T_3$). Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, поэтому она не меняется ($\Delta U_{23} = 0$). По условию, над газом совершается работа $A$, значит, работа, совершенная самим газом, отрицательна: $A_{23} = -A$. Согласно первому закону термодинамики, $Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = -A$. Так как $A > 0$, то $Q_{23} < 0$. Это означает, что газ отдает тепло холодильнику. Количество отданного тепла $Q_{хол} = |Q_{23}| = A$.

Определим максимальную и минимальную температуры в цикле. Из анализа процессов следует, что $T_1 > T_2$ и $T_2 = T_3$. Следовательно, максимальная температура в цикле – это $T_{max} = T_1$, а минимальная – $T_{min} = T_2 = T_3$.

По условию задачи, разность максимальной и минимальной температур равна $\Delta T$:

$\Delta T = T_{max} - T_{min} = T_1 - T_2$.

Найдем количество теплоты, полученное от нагревателя, $Q_{нагр}$. Тепло подводится только на изохорном участке $3 \rightarrow 1$:

$Q_{нагр} = Q_{31} = \Delta U_{31} = U_1 - U_3$.

Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия $U = \frac{3}{2}\nu R T$. Тогда:

$Q_{нагр} = \frac{3}{2}\nu R T_1 - \frac{3}{2}\nu R T_3 = \frac{3}{2}\nu R (T_1 - T_3)$.

Учитывая, что $T_3 = T_2$, получаем:

$Q_{нагр} = \frac{3}{2}\nu R (T_1 - T_2) = \frac{3}{2}\nu R \Delta T$.

Полная работа, совершаемая газом за цикл, равна разности тепла, полученного от нагревателя, и тепла, отданного холодильнику:

$A_{цикла} = Q_{нагр} - Q_{хол} = \frac{3}{2}\nu R \Delta T - A$.

Теперь можем найти КПД двигателя:

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}} = \frac{\frac{3}{2}\nu R \Delta T - A}{\frac{3}{2}\nu R \Delta T} = 1 - \frac{A}{\frac{3}{2}\nu R \Delta T} = 1 - \frac{2A}{3\nu R \Delta T}$.

Ответ: $\eta = 1 - \frac{2A}{3\nu R \Delta T}$.