Номер 815, страница 147 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Идеальный газ.

Цикл состоит из двух адиабат и двух изохор.

В процессе адиабатного расширения: $T_2 = 0.6 T_1$.

В процессе адиабатного сжатия: $T_4 = \frac{5}{3} T_3$.

Найти:

Термический коэффициент полезного действия $η$.

Решение:

Термический коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется отношением полезной работы $A$ к количеству теплоты $Q_{нагр}$, полученному от нагревателя. Для циклического процесса полезная работа равна разности полученной от нагревателя и отданной холодильнику теплоты: $A = Q_{нагр} - Q_{хол}$. Таким образом, формула для КПД принимает вид:

$η = \frac{Q_{нагр} - Q_{хол}}{Q_{нагр}} = 1 - \frac{Q_{хол}}{Q_{нагр}}$

Цикл, состоящий из двух адиабат и двух изохор, является циклом Отто. Обозначим состояния газа цифрами от 1 до 4. Пусть теплота подводится в процессе изохорного нагрева 4→1, а отводится в процессе изохорного охлаждения 2→3. Процессы 1→2 (адиабатное расширение) и 3→4 (адиабатное сжатие) происходят без теплообмена.

Количество теплоты, полученное от нагревателя в процессе изохорного нагрева:

$Q_{нагр} = Q_{41} = C_V(T_1 - T_4)$

Количество теплоты, отданное холодильнику в процессе изохорного охлаждения:

$Q_{хол} = |Q_{23}| = C_V(T_2 - T_3)$

Здесь $C_V$ — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Подставим выражения для теплот в формулу для КПД:

$η = 1 - \frac{C_V(T_2 - T_3)}{C_V(T_1 - T_4)} = 1 - \frac{T_2 - T_3}{T_1 - T_4}$

Для двух адиабатических процессов (1→2 и 3→4) справедливо уравнение Пуассона $T V^{\gamma-1} = \text{const}$, где $γ$ — показатель адиабаты. Так как процессы 2→3 и 4→1 изохорные, то объемы в начальных и конечных точках этих процессов равны: $V_2 = V_3$ и $V_1 = V_4$.

Для адиабаты 1→2: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.

Для адиабаты 3→4: $T_3 V_3^{\gamma-1} = T_4 V_4^{\gamma-1}$, что с учетом равенства объемов можно записать как $T_3 V_2^{\gamma-1} = T_4 V_1^{\gamma-1}$.

Из этих двух уравнений для адиабат можно получить соотношение для температур в цикле Отто. Разделив первое уравнение на второе, получим $\frac{T_1}{T_3} (\frac{V_1}{V_2})^{\gamma-1} = \frac{T_2}{T_4}$, что приводит к соотношению:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{T_4}{T_3}$

Воспользуемся данными из условия задачи. Из $T_2 = 0.6 T_1$ получаем $\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{0.6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$. Из $T_4 = \frac{5}{3} T_3$ получаем $\frac{T_4}{T_3} = \frac{5}{3}$. Как видим, условия задачи согласуются с термодинамикой цикла.

Теперь выразим температуры $T_2$ и $T_3$ через $T_1$ и $T_4$ соответственно, чтобы подставить в формулу для КПД.

$T_2 = 0.6 T_1$

$T_3 = \frac{3}{5} T_4 = 0.6 T_4$

Подставляем эти выражения в дробную часть формулы для КПД:

$\frac{T_2 - T_3}{T_1 - T_4} = \frac{0.6 T_1 - 0.6 T_4}{T_1 - T_4} = \frac{0.6 (T_1 - T_4)}{T_1 - T_4}$

При условии, что $T_1 \neq T_4$ (что необходимо для работы двигателя), мы можем сократить дробь:

$\frac{T_2 - T_3}{T_1 - T_4} = 0.6$

Теперь можем вычислить КПД:

$η = 1 - 0.6 = 0.4$

Ответ: $η = 0.4$ или $40\%$.