Номер 811, страница 146 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Циклические процессы 1→2→4→1 и 2→3→5→2

Рабочее тело: идеальный одноатомный газ

Координаты точек на $p-V$ диаграмме:

1: $(V_0, p_0)$

2: $(2V_0, 2p_0)$

3: $(3V_0, 3p_0)$

4: $(2V_0, p_0)$

5: $(3V_0, 2p_0)$

Найти:

На сколько процентов отличаются КПД циклов.

Решение:

Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла определяется как отношение работы $A$, совершённой газом за цикл, к количеству теплоты $Q_H$, полученному газом от нагревателя:

$\eta = \frac{A}{Q_H}$

Для одноатомного идеального газа ($i=3$) изменение внутренней энергии равно $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2}\Delta(pV)$. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты, переданное газу, равно $Q = \Delta U + A'$, где $A'$ – работа газа.

Рассмотрим первый цикл 1→2→4→1.

Работа за цикл $A_1$ равна площади треугольника 1-2-4:

$A_1 = \frac{1}{2} \cdot (2V_0 - V_0) \cdot (2p_0 - p_0) = \frac{1}{2}p_0V_0$

Газ получает теплоту на участке, где его температура растет. Это происходит на участке 1→2, где и объем, и давление увеличиваются.

Изменение внутренней энергии на участке 1→2:

$\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(2p_0 \cdot 2V_0 - p_0V_0) = \frac{3}{2}(3p_0V_0) = \frac{9}{2}p_0V_0$

Работа газа на участке 1→2 (площадь трапеции под графиком):

$A'_{12} = \frac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1) = \frac{p_0+2p_0}{2}(2V_0-V_0) = \frac{3}{2}p_0V_0$

Количество теплоты, полученное на участке 1→2:

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A'_{12} = \frac{9}{2}p_0V_0 + \frac{3}{2}p_0V_0 = 6p_0V_0$

На участках 2→4 (изохорное охлаждение) и 4→1 (изобарное сжатие) газ отдает теплоту. Таким образом, $Q_{H1} = Q_{12} = 6p_0V_0$.

КПД первого цикла:

$\eta_1 = \frac{A_1}{Q_{H1}} = \frac{\frac{1}{2}p_0V_0}{6p_0V_0} = \frac{1}{12}$

Рассмотрим второй цикл 2→3→5→2.

Работа за цикл $A_2$ равна площади треугольника 2-3-5:

$A_2 = \frac{1}{2} \cdot (3V_0 - 2V_0) \cdot (3p_0 - 2p_0) = \frac{1}{2}p_0V_0$

Газ получает теплоту на участке 2→3, где объем и давление увеличиваются.

Изменение внутренней энергии на участке 2→3:

$\Delta U_{23} = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{3}{2}(3p_0 \cdot 3V_0 - 2p_0 \cdot 2V_0) = \frac{3}{2}(5p_0V_0) = \frac{15}{2}p_0V_0$

Работа газа на участке 2→3:

$A'_{23} = \frac{p_2+p_3}{2}(V_3-V_2) = \frac{2p_0+3p_0}{2}(3V_0-2V_0) = \frac{5}{2}p_0V_0$

Количество теплоты, полученное на участке 2→3:

$Q_{23} = \Delta U_{23} + A'_{23} = \frac{15}{2}p_0V_0 + \frac{5}{2}p_0V_0 = 10p_0V_0$

На участках 3→5 и 5→2 газ отдает теплоту. Таким образом, $Q_{H2} = Q_{23} = 10p_0V_0$.

КПД второго цикла:

$\eta_2 = \frac{A_2}{Q_{H2}} = \frac{\frac{1}{2}p_0V_0}{10p_0V_0} = \frac{1}{20}$

Теперь сравним КПД. $\eta_1 = 1/12 \approx 0.0833$, а $\eta_2 = 1/20 = 0.05$. КПД первого цикла больше.

Найдем, на сколько процентов КПД первого цикла больше КПД второго (приняв за базу сравнения КПД первого цикла, который упомянут первым в условии):

$\delta = \frac{\eta_1 - \eta_2}{\eta_1} \cdot 100\% = \frac{\frac{1}{12} - \frac{1}{20}}{\frac{1}{12}} \cdot 100\% = \frac{\frac{5-3}{60}}{\frac{1}{12}} \cdot 100\% = \frac{\frac{2}{60}}{\frac{1}{12}} \cdot 100\% = \frac{1}{30} \cdot 12 \cdot 100\% = \frac{12}{30} \cdot 100\% = 0.4 \cdot 100\% = 40\%$

Ответ: Термические коэффициенты полезного действия отличаются на 40% (КПД первого цикла на 40% больше КПД второго).