Номер 804, страница 145 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$T_н = 3 T_х$

$m = 5,0 \text{ кг}$

$h = 2,0 \text{ м}$

$k = 6,3 \cdot 10^5 \text{ Н/м}$

$x = 8,0 \text{ см}$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Перевод в СИ:

$x = 8,0 \text{ см} = 0,08 \text{ м}$

Найти:

$Q_1$

Решение:

Полезная работа $A$, совершаемая газом за один цикл, расходуется на увеличение потенциальной энергии поршня и на сжатие пружины.

Работа по поднятию поршня равна изменению его потенциальной энергии:

$A_{поршень} = mgh$

Работа по сжатию пружины равна потенциальной энергии, запасенной в сжатой пружине:

$A_{пружина} = \frac{kx^2}{2}$

Полная полезная работа за один цикл равна сумме этих работ:

$A = A_{поршень} + A_{пружина} = mgh + \frac{kx^2}{2}$

Подставим числовые значения для расчета работы:

$A = 5,0 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 2,0 \text{ м} + \frac{6,3 \cdot 10^5 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot (0,08 \text{ м})^2}{2}$

$A = 98 \text{ Дж} + \frac{6,3 \cdot 10^5 \cdot 0,0064}{2} \text{ Дж} = 98 \text{ Дж} + 2016 \text{ Дж} = 2114 \text{ Дж}$

Двигатель является идеальным, следовательно, его коэффициент полезного действия (КПД) равен КПД идеального цикла Карно и определяется только температурами нагревателя $T_н$ и холодильника $T_х$:

$\eta = \frac{T_н - T_х}{T_н} = 1 - \frac{T_х}{T_н}$

Согласно условию задачи, $T_н = 3T_х$. Подставим это соотношение в формулу для КПД:

$\eta = 1 - \frac{T_х}{3T_х} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

КПД теплового двигателя также определяется как отношение полезной работы $A$ к количеству теплоты $Q_1$, полученному от нагревателя:

$\eta = \frac{A}{Q_1}$

Приравняем два выражения для КПД, чтобы найти $Q_1$:

$\frac{A}{Q_1} = \frac{2}{3}$

Отсюда выражаем искомое количество теплоты:

$Q_1 = \frac{3A}{2} = \frac{3 \cdot 2114 \text{ Дж}}{2} = 3 \cdot 1057 \text{ Дж} = 3171 \text{ Дж}$

Учитывая, что исходные данные приведены с двумя значащими цифрами, округлим результат до двух значащих цифр:

$Q_1 \approx 3,2 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 3,2 \text{ кДж}$

Ответ: $Q_1 = 3171 \text{ Дж} \approx 3,2 \text{ кДж}$.