Номер 807, страница 145 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Идеальный одноатомный газ.
Циклический процесс состоит из трех этапов:
1-2: Изохорное охлаждение ($V = const$), при котором давление уменьшается в 4 раза ($p_2 = p_1/4$).
2-3: Изобарное сжатие ($p = const$).
3-1: Расширение, при котором давление прямо пропорционально объему ($p \sim V$).

Найти:

Термический коэффициент полезного действия цикла $\eta$.

Решение:

Обозначим параметры газа в начальном состоянии 1 как $p_1$ и $V_1$. Проанализируем состояния газа в узловых точках цикла.

- Состояние 1: Параметры $p_1, V_1$.

- Процесс 1-2 (изохорное охлаждение): Объем постоянен, $V_2 = V_1$. Давление уменьшается в 4 раза, $p_2 = p_1/4$. Таким образом, состояние 2 имеет параметры $p_2 = p_1/4, V_2 = V_1$.

- Процесс 2-3 (изобарное сжатие): Давление постоянно, $p_3 = p_2 = p_1/4$.

- Процесс 3-1 (расширение $p \sim V$): Давление прямо пропорционально объему, значит $p/V = const$. Это означает, что для состояний 3 и 1 выполняется соотношение: $\frac{p_3}{V_3} = \frac{p_1}{V_1}$ Подставим известное значение $p_3 = p_1/4$: $\frac{p_1/4}{V_3} = \frac{p_1}{V_1}$ Отсюда находим объем в состоянии 3: $V_3 = V_1/4$. Таким образом, состояние 3 имеет параметры $p_3 = p_1/4, V_3 = V_1/4$.

Термический КПД цикла определяется формулой: $\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}}$ где $A_{цикла}$ — полезная работа, совершаемая газом за цикл, а $Q_{нагр}$ — количество теплоты, полученное газом от нагревателя.

Работу за цикл $A_{цикла}$ удобно найти как площадь фигуры, ограниченной графиком цикла в координатах $p-V$. Вершины цикла в координатах ($V, p$): - Точка 1: ($V_1, p_1$) - Точка 2: ($V_1, p_1/4$) - Точка 3: ($V_1/4, p_1/4$) Цикл представляет собой прямоугольный треугольник. Его катеты равны $\Delta V = V_1 - V_1/4 = \frac{3}{4}V_1$ и $\Delta p = p_1 - p_1/4 = \frac{3}{4}p_1$. Площадь этого треугольника (работа за цикл) равна: $A_{цикла} = \frac{1}{2} \Delta V \Delta p = \frac{1}{2} \left(\frac{3}{4}V_1\right) \left(\frac{3}{4}p_1\right) = \frac{9}{32}p_1V_1$.

Теперь найдем количество теплоты $Q_{нагр}$, полученное газом. Газ получает теплоту в тех процессах, где его внутренняя энергия увеличивается, или где он совершает положительную работу, превышающую уменьшение внутренней энергии. Воспользуемся первым законом термодинамики: $Q = \Delta U + A$. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2}\Delta(pV)$.

- Процесс 1-2 (изохорное охлаждение): $A_{12} = 0$. $\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(\frac{p_1}{4}V_1 - p_1V_1) = -\frac{9}{8}p_1V_1$. $Q_{12} = \Delta U_{12} < 0$. Газ отдает тепло.

- Процесс 2-3 (изобарное сжатие): Работа $A_{23} = p_2(V_3 - V_2) = \frac{p_1}{4}(\frac{V_1}{4} - V_1) = -\frac{3}{16}p_1V_1$. $\Delta U_{23} = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{3}{2}(\frac{p_1}{4}\frac{V_1}{4} - \frac{p_1}{4}V_1) = -\frac{9}{32}p_1V_1$. $Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = -\frac{9}{32}p_1V_1 - \frac{6}{32}p_1V_1 = -\frac{15}{32}p_1V_1 < 0$. Газ отдает тепло.

- Процесс 3-1 (расширение): Работа $A_{31}$ равна площади трапеции под графиком процесса: $A_{31} = \frac{p_3+p_1}{2}(V_1-V_3) = \frac{p_1/4+p_1}{2}(V_1-V_1/4) = \frac{5p_1/4}{2} \cdot \frac{3V_1}{4} = \frac{15}{32}p_1V_1$. $\Delta U_{31} = \frac{3}{2}(p_1V_1 - p_3V_3) = \frac{3}{2}(p_1V_1 - \frac{p_1}{4}\frac{V_1}{4}) = \frac{3}{2}(p_1V_1 - \frac{p_1V_1}{16}) = \frac{3}{2}\frac{15p_1V_1}{16} = \frac{45}{32}p_1V_1$. $Q_{31} = \Delta U_{31} + A_{31} = \frac{45}{32}p_1V_1 + \frac{15}{32}p_1V_1 = \frac{60}{32}p_1V_1 = \frac{15}{8}p_1V_1 > 0$. Газ получает тепло.

Теплота подводится к газу только в процессе 3-1. Следовательно, $Q_{нагр} = Q_{31} = \frac{15}{8}p_1V_1$.

Теперь можем рассчитать КПД цикла: $\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}} = \frac{\frac{9}{32}p_1V_1}{\frac{15}{8}p_1V_1} = \frac{9}{32} \cdot \frac{8}{15} = \frac{9}{4 \cdot 15} = \frac{3}{4 \cdot 5} = \frac{3}{20} = 0.15$.

Ответ: $\eta = \frac{3}{20} = 0.15$ или 15%.