Номер 813, страница 146 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Газ: идеальный одноатомный

Количество вещества: $v = 1,00$ моль

Количество теплоты от нагревателя: $Q_1 = 5,00$ кДж

Термический КПД: $\eta = 50,0$ %

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Перевод в систему СИ:

$Q_1 = 5,00 \times 10^3$ Дж

$\eta = 0,500$

Найти:

$\Delta T$ - разность между максимальной и минимальной температурами газа в цикле.

Решение:

Цикл работы двигателя состоит из трех процессов, показанных на pV-диаграмме:

1. Процесс $1 \rightarrow 2$: изотермическое расширение. Температура газа постоянна ($T_1 = T_2$). В этом процессе газ получает от нагревателя количество теплоты $Q_1$.

2. Процесс $2 \rightarrow 3$: изохорное охлаждение. Объем газа постоянен ($V_2 = V_3$). Газ отдает тепло холодильнику. Поскольку давление падает, температура также падает, следовательно, $T_2 > T_3$.

3. Процесс $3 \rightarrow 1$: адиабатное сжатие. Газ теплоизолирован ($Q=0$). При адиабатном сжатии температура газа увеличивается, то есть $T_1 > T_3$.

Из анализа процессов следует, что максимальная температура в цикле достигается на изотерме $1 \rightarrow 2$ ($T_{max} = T_1 = T_2$), а минимальная температура достигается в точке 3 ($T_{min} = T_3$).

Таким образом, искомая разность температур равна:

$\Delta T = T_{max} - T_{min} = T_2 - T_3$

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется отношением полезной работы $A$, совершенной за цикл, к количеству теплоты $Q_1$, полученному от нагревателя:

$\eta = \frac{A}{Q_1}$

Согласно первому закону термодинамики для цикла, работа $A$ равна разности между полученной от нагревателя теплотой $Q_1$ и отданной холодильнику теплотой $|Q_2|$:

$A = Q_1 - |Q_2|$

Тогда формула для КПД примет вид:

$\eta = \frac{Q_1 - |Q_2|}{Q_1} = 1 - \frac{|Q_2|}{Q_1}$

Из этого выражения можно найти количество теплоты, отданное холодильнику:

$|Q_2| = Q_1 (1 - \eta)$

Теплота отдается холодильнику только в процессе изохорного охлаждения $2 \rightarrow 3$. Для изохорного процесса ($V = \text{const}$) работа не совершается, и вся отданная теплота равна изменению внутренней энергии газа:

$|Q_2| = |\Delta U_{2 \rightarrow 3}|$

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа вычисляется по формуле $U = \frac{3}{2}vRT$. Тогда ее изменение в процессе $2 \rightarrow 3$ равно:

$\Delta U_{2 \rightarrow 3} = \frac{3}{2}vR(T_3 - T_2)$

Так как $T_2 > T_3$, то $\Delta U_{2 \rightarrow 3} < 0$, что соответствует отдаче тепла.

$|Q_2| = |\frac{3}{2}vR(T_3 - T_2)| = \frac{3}{2}vR(T_2 - T_3)$

Подставляя $T_2 - T_3 = \Delta T$, получаем:

$|Q_2| = \frac{3}{2}vR\Delta T$

Теперь приравняем два полученных выражения для $|Q_2|$:

$Q_1 (1 - \eta) = \frac{3}{2}vR\Delta T$

Выразим из этого уравнения искомую разность температур $\Delta T$:

$\Delta T = \frac{2 Q_1 (1 - \eta)}{3 v R}$

Произведем вычисления, подставив числовые значения из условия:

$\Delta T = \frac{2 \cdot 5,00 \times 10^3 \text{ Дж} \cdot (1 - 0,500)}{3 \cdot 1,00 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}} = \frac{10000 \cdot 0,5}{24,93} \text{ К} \approx 200,56 \text{ К}$

С учетом значащих цифр (в исходных данных их три), округляем результат:

$\Delta T \approx 201 \text{ К}$

Ответ: разность между максимальной и минимальной температурами газа в этом цикле составляет 201 К.