Номер 819, страница 148 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_1 = 72 \text{ км/ч}$

$m_1 = 80 \text{ г}$

$s = 1.0 \text{ км}$

$v_2 = 90 \text{ км/ч}$

$\eta = 28 \% = 0.28$

$F_{сопр} = k \cdot v$

Удельная теплота сгорания бензина $q = 4.4 \cdot 10^7 \text{ Дж/кг}$ (справочное значение).

Перевод в СИ:

$v_1 = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

$m_1 = 80 \text{ г} = 0.08 \text{ кг}$

$s = 1.0 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

$v_2 = 90 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \text{ м/с}$

Найти:

$m_2 - ?$

$P_2 - ?$

Решение:

Поскольку автомобиль движется с постоянной скоростью (равномерно), сила тяги двигателя $F_{тяги}$ равна по модулю и противоположна по направлению силе сопротивления движению $F_{сопр}$.

$F_{тяги} = F_{сопр}$

Согласно условию задачи, модуль силы сопротивления прямо пропорционален модулю скорости:

$F_{сопр} = k \cdot v$, где $k$ – некоторый коэффициент пропорциональности.

Следовательно, для равномерного движения сила тяги также должна быть пропорциональна скорости: $F_{тяги} = k \cdot v$.

Полезная работа $A_{полез}$, совершаемая двигателем на пути $s$, равна:

$A_{полез} = F_{тяги} \cdot s$

Эта работа совершается за счет энергии, выделяемой при сгорании бензина, с учетом КПД двигателя $\eta$. Количество теплоты $Q$, выделяемое при сгорании массы $m$ бензина, равно $Q = q \cdot m$.

Тогда полезная работа может быть также выражена как:

$A_{полез} = \eta \cdot Q = \eta \cdot q \cdot m$

Приравнивая два выражения для полезной работы, получаем:

$F_{тяги} \cdot s = \eta \cdot q \cdot m$

Подставим в это уравнение выражение для силы тяги $F_{тяги} = k \cdot v$:

$(k \cdot v) \cdot s = \eta \cdot q \cdot m$

Найдите массу m₂ бензина, который будет расходовать двигатель автомобиля при модуле скорости v₂ = 90 км/ч.

Из полученного выше соотношения выразим массу расходуемого топлива $m$ на пути $s$:

$m = \frac{k \cdot s}{\eta \cdot q} \cdot v$

Так как величины $k, s, \eta, q$ являются постоянными для данного автомобиля и условий, масса расходуемого топлива на одном и том же пути $s$ прямо пропорциональна скорости движения: $m \propto v$.

Это позволяет составить пропорцию для двух случаев (при скоростях $v_1$ и $v_2$):

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{v_2}{v_1}$

Отсюда находим искомую массу бензина $m_2$:

$m_2 = m_1 \cdot \frac{v_2}{v_1}$

Подставим числовые значения (можно использовать скорости в км/ч, так как важно их отношение):

$m_2 = 80 \text{ г} \cdot \frac{90 \text{ км/ч}}{72 \text{ км/ч}} = 80 \cdot 1.25 = 100 \text{ г}$

Ответ: $100 \text{ г}$.

Какую мощность P он при этом разовьет?

Полезная мощность, развиваемая двигателем, определяется по формуле $P = F_{тяги} \cdot v$.

Нам нужно найти мощность $P_2$ при скорости $v_2$:

$P_2 = F_{тяги2} \cdot v_2$

Для этого сначала найдем силу тяги $F_{тяги1}$ из данных для первого случая. Из соотношения $F_{тяги1} \cdot s = \eta \cdot q \cdot m_1$ имеем:

$F_{тяги1} = \frac{\eta \cdot q \cdot m_1}{s} = \frac{0.28 \cdot (4.4 \cdot 10^7 \text{ Дж/кг}) \cdot 0.08 \text{ кг}}{1000 \text{ м}} \approx 986 \text{ Н}$

Так как сила тяги пропорциональна скорости ($F_{тяги} \propto v$), мы можем записать:

$\frac{F_{тяги2}}{F_{тяги1}} = \frac{v_2}{v_1}$

Отсюда находим силу тяги во втором случае:

$F_{тяги2} = F_{тяги1} \cdot \frac{v_2}{v_1} = 985.6 \text{ Н} \cdot \frac{25 \text{ м/с}}{20 \text{ м/с}} = 985.6 \cdot 1.25 = 1232 \text{ Н}$

Теперь можем вычислить мощность $P_2$:

$P_2 = F_{тяги2} \cdot v_2 = 1232 \text{ Н} \cdot 25 \text{ м/с} = 30800 \text{ Вт} = 30.8 \text{ кВт}$

Ответ: $30.8 \text{ кВт}$.