Номер 823, страница 148 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Дробинка изготовлена из свинца.

Доля кинетической энергии, перешедшая во внутреннюю: $\eta = 80,0 \% = 0,8$

Начальная температура дробинки: $t_1 = 127°C$

Для решения задачи потребуются справочные данные для свинца:

Удельная теплоемкость: $c = 130 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \, ^\circ\text{C}}$

Температура плавления: $t_{пл} = 327°C$

Удельная теплота плавления: $\lambda = 2,5 \cdot 10^4 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найти:

$v$ - ?

Решение:

При ударе о препятствие часть кинетической энергии дробинки $E_k$ переходит в ее внутреннюю энергию (теплоту) $Q$. По условию, эта часть составляет $\eta$.

$Q = \eta \cdot E_k$

Кинетическая энергия дробинки массой $m$, движущейся со скоростью $v$, равна:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Следовательно, количество теплоты, выделившееся при ударе, равно:

$Q = \eta \frac{mv^2}{2}$

Чтобы дробинка расплавилась, этой теплоты должно хватить, чтобы сначала нагреть ее от начальной температуры $t_1$ до температуры плавления $t_{пл}$, а затем полностью расплавить. Количество теплоты $Q_{общ}$, необходимое для этого, складывается из теплоты для нагревания $Q_1$ и теплоты для плавления $Q_2$.

$Q_{общ} = Q_1 + Q_2$

Теплота для нагревания: $Q_1 = c \cdot m \cdot (t_{пл} - t_1)$

Теплота для плавления: $Q_2 = \lambda \cdot m$

Таким образом, общее количество необходимой теплоты:

$Q_{общ} = c \cdot m \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda \cdot m$

Приравниваем количество выделившейся теплоты $Q$ к количеству теплоты, необходимой для плавления $Q_{общ}$:

$\eta \frac{mv^2}{2} = c \cdot m \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda \cdot m$

Массу дробинки $m$ можно сократить в обеих частях уравнения:

$\eta \frac{v^2}{2} = c \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda$

Выразим из этого уравнения скорость $v$:

$v^2 = \frac{2 \cdot (c \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda)}{\eta}$

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot (c \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda)}{\eta}}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot (130 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \, ^\circ\text{C}} \cdot (327°C - 127°C) + 2,5 \cdot 10^4 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}})}{0,8}}$

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot (130 \cdot 200 + 25000)}{0,8}} \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot (26000 + 25000)}{0,8}} \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 51000}{0,8}} \, \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{\frac{102000}{0,8}} \, \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{127500} \, \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 357 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: наименьшая скорость свинцовой дробинки, при которой она расплавится, составляет приблизительно $357 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$.