Номер 828, страница 149 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_1 = 0,43 \frac{км}{с} = 430 \frac{м}{с}$

$v_2 = 0,20 \frac{км}{с} = 200 \frac{м}{с}$

$t = 80 °C$

$\eta = 50 \% = 0,5$

Пуля свинцовая, поэтому используем справочные данные для свинца:

Удельная теплоемкость свинца $c = 130 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Удельная теплота плавления свинца $\lambda = 2,5 \cdot 10^4 \frac{Дж}{кг}$

Температура плавления свинца $t_{пл} = 327 °C$

Найти:

$\frac{m_x}{m}$

Решение:

При пробивании стены скорость пули уменьшается, следовательно, уменьшается и ее кинетическая энергия. Изменение кинетической энергии пули равно:

$\Delta E_k = E_{k1} - E_{k2} = \frac{m v_1^2}{2} - \frac{m v_2^2}{2} = \frac{m(v_1^2 - v_2^2)}{2}$

где $m$ - масса пули.

Согласно условию задачи, на нагревание пули идет доля $\eta$ от изменения ее кинетической энергии. Количество теплоты $Q$, полученное пулей, равно:

$Q = \eta \cdot \Delta E_k = \frac{\eta m (v_1^2 - v_2^2)}{2}$

Это количество теплоты расходуется на два процесса:

1. Нагревание всей пули массой $m$ от начальной температуры $t$ до температуры плавления $t_{пл}$. Количество теплоты для этого процесса $Q_1$:

$Q_1 = c \cdot m \cdot (t_{пл} - t)$

2. Плавление части пули массой $m_x$ при температуре плавления. Количество теплоты для этого процесса $Q_2$:

$Q_2 = \lambda \cdot m_x$

Общее количество теплоты, поглощенное пулей, равно сумме $Q_1$ и $Q_2$:

$Q = Q_1 + Q_2 = c \cdot m \cdot (t_{пл} - t) + \lambda \cdot m_x$

Приравняем два выражения для $Q$:

$\frac{\eta m (v_1^2 - v_2^2)}{2} = c \cdot m \cdot (t_{пл} - t) + \lambda \cdot m_x$

Нам необходимо найти отношение расплавившейся массы $m_x$ к общей массе $m$. Для этого разделим обе части уравнения на $m$:

$\frac{\eta (v_1^2 - v_2^2)}{2} = c \cdot (t_{пл} - t) + \lambda \cdot \frac{m_x}{m}$

Выразим из этого уравнения искомое отношение $\frac{m_x}{m}$:

$\lambda \cdot \frac{m_x}{m} = \frac{\eta (v_1^2 - v_2^2)}{2} - c \cdot (t_{пл} - t)$

$\frac{m_x}{m} = \frac{1}{\lambda} \left( \frac{\eta (v_1^2 - v_2^2)}{2} - c \cdot (t_{пл} - t) \right)$

Подставим числовые значения:

$\frac{m_x}{m} = \frac{1}{2,5 \cdot 10^4} \left( \frac{0,5 \cdot (430^2 - 200^2)}{2} - 130 \cdot (327 - 80) \right)$

$\frac{m_x}{m} = \frac{1}{25000} \left( \frac{0,5 \cdot (184900 - 40000)}{2} - 130 \cdot 247 \right)$

$\frac{m_x}{m} = \frac{1}{25000} \left( \frac{0,5 \cdot 144900}{2} - 32110 \right)$

$\frac{m_x}{m} = \frac{1}{25000} (36225 - 32110)$

$\frac{m_x}{m} = \frac{4115}{25000} \approx 0,165$

Ответ: расплавилась часть пули, равная примерно 0,165 от ее общей массы.