Номер 829, страница 149 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса пули $m = 10,0 \text{ г}$

Масса ящика $M = 500 \text{ г}$

Начальная скорость пули $v_1 = 600 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Конечная скорость пули $v_2 = \frac{v_1}{4}$

Начальная скорость ящика $V_1 = 0$

Перевод в систему СИ:
$m = 10,0 \text{ г} = 0,01 \text{ кг}$
$M = 500 \text{ г} = 0,5 \text{ кг}$

Найти:

Количество теплоты $Q$

Решение:

Рассмотрим систему тел "пуля + ящик". Так как ящик находится на гладкой горизонтальной плоскости, то внешние силы в горизонтальном направлении на систему не действуют. Следовательно, для этой системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Запишем закон сохранения импульса. Импульс системы до взаимодействия (когда пуля подлетает к покоящемуся ящику):

$p_{до} = m v_1 + M V_1 = m v_1$

Импульс системы после взаимодействия (когда пуля вылетает из ящика, и ящик приобретает скорость $V_2$):

$p_{после} = m v_2 + M V_2$

Приравнивая импульсы до и после взаимодействия, получаем:

$m v_1 = m v_2 + M V_2$

Из этого уравнения выразим скорость ящика $V_2$ после пробивания:

$M V_2 = m(v_1 - v_2) \implies V_2 = \frac{m(v_1 - v_2)}{M}$

Количество теплоты $Q$, выделившееся при движении пули в ящике, по закону сохранения энергии равно изменению (убыли) полной механической энергии системы. Так как движение происходит в горизонтальной плоскости, изменение потенциальной энергии равно нулю. Следовательно, количество теплоты равно убыли кинетической энергии системы.

$Q = E_{k,до} - E_{k,после}$

Кинетическая энергия системы до взаимодействия:

$E_{k,до} = \frac{m v_1^2}{2} + \frac{M V_1^2}{2} = \frac{m v_1^2}{2}$

Кинетическая энергия системы после взаимодействия:

$E_{k,после} = \frac{m v_2^2}{2} + \frac{M V_2^2}{2}$

Подставив выражения для энергий, получим формулу для $Q$:

$Q = \frac{m v_1^2}{2} - \left( \frac{m v_2^2}{2} + \frac{M V_2^2}{2} \right)$

Выполним вычисления.

1. Скорость пули после вылета из ящика:

$v_2 = \frac{600 \frac{\text{м}}{\text{с}}}{4} = 150 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

2. Скорость ящика после вылета пули:

$V_2 = \frac{0,01 \text{ кг} \cdot (600 \frac{\text{м}}{\text{с}} - 150 \frac{\text{м}}{\text{с}})}{0,5 \text{ кг}} = \frac{0,01 \cdot 450}{0,5} = 9 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

3. Кинетическая энергия системы до взаимодействия:

$E_{k,до} = \frac{0,01 \text{ кг} \cdot (600 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2} = \frac{0,01 \cdot 360000}{2} = 1800 \text{ Дж}$

4. Кинетическая энергия системы после взаимодействия:

$E_{k,после} = \frac{0,01 \text{ кг} \cdot (150 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2} + \frac{0,5 \text{ кг} \cdot (9 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2}$

$E_{k,после} = \frac{0,01 \cdot 22500}{2} + \frac{0,5 \cdot 81}{2} = 112,5 \text{ Дж} + 20,25 \text{ Дж} = 132,75 \text{ Дж}$

5. Количество выделившейся теплоты:

$Q = 1800 \text{ Дж} - 132,75 \text{ Дж} = 1667,25 \text{ Дж}$

Ответ: $Q = 1667,25 \text{ Дж}$.