Номер 836, страница 150 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса железного калориметра, $m_ж = 100 \text{ г}$
Масса воды, $m_в = 500 \text{ г}$
Начальная температура воды и калориметра, $t_1 = 15,0 \text{ °C}$
Общая масса свинца и алюминия, $m = 150 \text{ г}$
Начальная температура свинца и алюминия, $t_2 = 100 \text{ °C}$
Конечная температура системы, $t = 17,0 \text{ °C}$
Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$
Удельная теплоемкость железа, $c_ж = 460 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$
Удельная теплоемкость свинца, $c_{св} = 130 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$
Удельная теплоемкость алюминия, $c_{ал} = 920 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$

$m_ж = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$
$m_в = 500 \text{ г} = 0,5 \text{ кг}$
$m = 150 \text{ г} = 0,15 \text{ кг}$

Найти:

$m_{св} - ?, m_{ал} - ?$

Решение:

В данной задаче происходит теплообмен в замкнутой системе (калориметре). Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отданное горячими телами (свинцом и алюминием), равно количеству теплоты, полученному холодными телами (водой и калориметром). Запишем уравнение теплового баланса:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Количество теплоты, отданное свинцом и алюминием при их остывании от температуры $t_2$ до $t$:

$Q_{отданное} = Q_{св} + Q_{ал} = c_{св} m_{св} (t_2 - t) + c_{ал} m_{ал} (t_2 - t) = (c_{св} m_{св} + c_{ал} m_{ал})(t_2 - t)$

Количество теплоты, полученное водой и железным калориметром при их нагревании от температуры $t_1$ до $t$:

$Q_{полученное} = Q_{в} + Q_{ж} = c_{в} m_{в} (t - t_1) + c_{ж} m_{ж} (t - t_1) = (c_{в} m_{в} + c_{ж} m_{ж})(t - t_1)$

Приравняем эти два выражения:

$(c_{св} m_{св} + c_{ал} m_{ал})(t_2 - t) = (c_{в} m_{в} + c_{ж} m_{ж})(t - t_1)$

Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными: $m_{св}$ и $m_{ал}$. В условии задачи дана их общая масса:

$m_{св} + m_{ал} = m$

Выразим массу алюминия через массу свинца:

$m_{ал} = m - m_{св}$

Подставим это выражение в уравнение теплового баланса:

$(c_{св} m_{св} + c_{ал} (m - m_{св}))(t_2 - t) = (c_{в} m_{в} + c_{ж} m_{ж})(t - t_1)$

Теперь решим это уравнение относительно $m_{св}$. Раскроем скобки в левой части:

$(c_{св} m_{св} + c_{ал} m - c_{ал} m_{св})(t_2 - t) = (c_{в} m_{в} + c_{ж} m_{ж})(t - t_1)$

Сгруппируем слагаемые с $m_{св}$:

$(m_{св}(c_{св} - c_{ал}) + c_{ал} m)(t_2 - t) = (c_{в} m_{в} + c_{ж} m_{ж})(t - t_1)$

Выразим $m_{св}$:

$m_{св}(c_{св} - c_{ал}) + c_{ал} m = \frac{(c_{в} m_{в} + c_{ж} m_{ж})(t - t_1)}{t_2 - t}$

$m_{св}(c_{св} - c_{ал}) = \frac{(c_{в} m_{в} + c_{ж} m_{ж})(t - t_1)}{t_2 - t} - c_{ал} m$

$m_{св} = \frac{1}{c_{св} - c_{ал}} \left( \frac{(c_{в} m_{в} + c_{ж} m_{ж})(t - t_1)}{t_2 - t} - c_{ал} m \right)$

Подставим числовые значения:

$m_{св} = \frac{1}{130 - 920} \left( \frac{(4200 \cdot 0,5 + 460 \cdot 0,1)(17 - 15)}{100 - 17} - 920 \cdot 0,15 \right)$

$m_{св} = \frac{1}{-790} \left( \frac{(2100 + 46) \cdot 2}{83} - 138 \right)$

$m_{св} = -\frac{1}{790} \left( \frac{2146 \cdot 2}{83} - 138 \right)$

$m_{св} = -\frac{1}{790} \left( \frac{4292}{83} - 138 \right)$

$m_{св} \approx -\frac{1}{790} (51,71 - 138) = -\frac{1}{790} (-86,29)$

$m_{св} \approx 0,1092 \text{ кг} \approx 109 \text{ г}$

Теперь найдем массу алюминия:

$m_{ал} = m - m_{св} = 150 \text{ г} - 109 \text{ г} = 41 \text{ г}$

Ответ: масса свинца $m_{св} \approx 109 \text{ г}$, масса алюминия $m_{ал} \approx 41 \text{ г}$.