Номер 837, страница 151 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 150 \text{ г}$
$t_1 = 100 \text{ °C}$
$m_в = 230 \text{ г}$
$t_2 = 15.0 \text{ °C}$
$t = 20.0 \text{ °C}$
$C = 42.0 \text{ Дж/К}$
Удельная теплоемкость свинца $c_{св} = 130 \text{ Дж/(кг·К)}$
Удельная теплоемкость алюминия $c_{ал} = 920 \text{ Дж/(кг·К)}$
Удельная теплоемкость воды $c_в = 4200 \text{ Дж/(кг·К)}$

$m = 0.150 \text{ кг}$
$m_в = 0.230 \text{ кг}$

Найти:

$m_{св}$ — ?, $m_{ал}$ — ?

Решение:

В основе решения лежит уравнение теплового баланса. В замкнутой системе количество теплоты, отданное более нагретыми телами, равно количеству теплоты, полученному более холодными телами. В данном случае горячая смесь опилок отдает тепло, а вода и калориметр его получают.

$Q_{отд} = Q_{пол}$

Количество теплоты $Q_{отд}$, отданное смесью опилок, складывается из теплоты, отданной свинцом ($Q_{св}$) и алюминием ($Q_{ал}$):

$Q_{отд} = Q_{св} + Q_{ал} = c_{св} m_{св} (t_1 - t) + c_{ал} m_{ал} (t_1 - t)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$Q_{отд} = (c_{св} m_{св} + c_{ал} m_{ал})(t_1 - t)$

Количество теплоты $Q_{пол}$, полученное водой ($Q_в$) и калориметром ($Q_к$):

$Q_{пол} = Q_в + Q_к = c_в m_в (t - t_2) + C(t - t_2)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$Q_{пол} = (c_в m_в + C)(t - t_2)$

Теперь составим уравнение теплового баланса:

$(c_{св} m_{св} + c_{ал} m_{ал})(t_1 - t) = (c_в m_в + C)(t - t_2)$

Мы имеем два неизвестных ($m_{св}$ и $m_{ал}$), поэтому нам нужно второе уравнение. Из условия задачи мы знаем общую массу смеси:

$m = m_{св} + m_{ал}$

Из этого уравнения выразим массу алюминия: $m_{ал} = m - m_{св}$.

Подставим это выражение в уравнение теплового баланса:

$(c_{св} m_{св} + c_{ал} (m - m_{св}))(t_1 - t) = (c_в m_в + C)(t - t_2)$

Теперь подставим числовые значения. Сначала рассчитаем правую часть (полученное тепло):

$Q_{пол} = (4200 \frac{Дж}{кг \cdot К} \cdot 0.230 \text{ кг} + 42.0 \frac{Дж}{К})(20.0 \text{ °C} - 15.0 \text{ °C})$

$Q_{пол} = (966 \frac{Дж}{К} + 42.0 \frac{Дж}{К}) \cdot 5.0 \text{ К} = 1008 \frac{Дж}{К} \cdot 5.0 \text{ К} = 5040 \text{ Дж}$

Теперь подставим это значение и другие данные в уравнение, чтобы найти $m_{св}$:

$(130 \cdot m_{св} + 920 \cdot (0.150 - m_{св})) \cdot (100 - 20.0) = 5040$

$(130 m_{св} + 138 - 920 m_{св}) \cdot 80 = 5040$

$138 - 790 m_{св} = \frac{5040}{80}$

$138 - 790 m_{св} = 63$

$790 m_{св} = 138 - 63$

$790 m_{св} = 75$

$m_{св} = \frac{75}{790} \approx 0.0949367 \text{ кг}$

Теперь найдем массу алюминия:

$m_{ал} = m - m_{св} = 0.150 \text{ кг} - 0.0949367 \text{ кг} \approx 0.0550633 \text{ кг}$

Переведем массы в граммы и округлим до трех значащих цифр:

$m_{св} \approx 0.0949 \text{ кг} = 94.9 \text{ г}$

$m_{ал} \approx 0.0551 \text{ кг} = 55.1 \text{ г}$

Ответ: масса свинца в смеси $m_{св} \approx 94.9 \text{ г}$, масса алюминия $m_{ал} \approx 55.1 \text{ г}$.