Номер 835, страница 150 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Объем комнаты (воздуха) $V_2 = 210 \text{ м}^3$

Начальная температура воздуха $t_1 = 10.0 \text{ °C}$

Конечная температура воздуха $t_2 = 22.0 \text{ °C}$

Понижение температуры воды $\Delta t = 25.0 \text{ °C}$

Потери энергии $\eta = 60.0 \% = 0.600$

Справочные данные:

Плотность воздуха (при нормальных условиях) $\rho_{возд} \approx 1.2 \text{ кг/м}^3$

Удельная теплоемкость воздуха $c_{возд} \approx 1005 \text{ Дж/(кг·°С)}$

Плотность воды $\rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3$

Удельная теплоемкость воды $c_{воды} = 4200 \text{ Дж/(кг·°С)}$

Найти:

Объем горячей воды $V_1$

Решение:

1. Сначала найдем количество теплоты, которое необходимо для нагрева воздуха в комнате. Это полезная теплота $Q_{полезн}$.

Масса воздуха $m_{возд}$ в объеме $V_2$ вычисляется по формуле: $m_{возд} = \rho_{возд} \cdot V_2$.

Изменение температуры воздуха составляет: $\Delta t_{возд} = t_2 - t_1 = 22.0 \text{ °C} - 10.0 \text{ °C} = 12.0 \text{ °C}$.

Тогда необходимое для нагрева воздуха количество теплоты равно:

$Q_{полезн} = c_{возд} \cdot m_{возд} \cdot \Delta t_{возд} = c_{возд} \cdot \rho_{возд} \cdot V_2 \cdot (t_2 - t_1)$

2. Общее количество теплоты $Q_{воды}$, которое отдает горячая вода при остывании, используется не полностью для нагрева воздуха. Согласно условию, потери энергии $\eta$ составляют 60.0%. Это означает, что на полезный нагрев воздуха идет только доля $(1 - \eta)$ от общего количества теплоты, выделенной водой.

$Q_{полезн} = (1 - \eta) \cdot Q_{воды}$

Отсюда можно выразить полное количество теплоты, которое должна отдать вода:

$Q_{воды} = \frac{Q_{полезн}}{1 - \eta}$

3. Количество теплоты, отдаваемое водой, также можно выразить через ее объем $V_1$ и понижение температуры $\Delta t$:

$Q_{воды} = c_{воды} \cdot m_{воды} \cdot \Delta t = c_{воды} \cdot (\rho_{воды} \cdot V_1) \cdot \Delta t$

4. Приравняв два выражения для $Q_{воды}$, получим уравнение для нахождения $V_1$:

$c_{воды} \cdot \rho_{воды} \cdot V_1 \cdot \Delta t = \frac{c_{возд} \cdot \rho_{возд} \cdot V_2 \cdot (t_2 - t_1)}{1 - \eta}$

Выразим отсюда искомый объем $V_1$:

$V_1 = \frac{c_{возд} \cdot \rho_{возд} \cdot V_2 \cdot (t_2 - t_1)}{(1 - \eta) \cdot c_{воды} \cdot \rho_{воды} \cdot \Delta t}$

5. Подставим числовые значения и произведем расчет. Так как в формуле используются разности температур, можно использовать значения в градусах Цельсия.

$V_1 = \frac{1005 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}} \cdot 1.2 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 210 \text{ м}^3 \cdot 12.0 \text{ °C}}{(1 - 0.600) \cdot 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 25.0 \text{ °C}}$

$V_1 = \frac{3039120}{42000000} \text{ м}^3 \approx 0.07236 \text{ м}^3$

Округляя результат до трех значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных, получаем:

$V_1 \approx 0.0724 \text{ м}^3$

Ответ: объем горячей воды, который должен пройти через радиаторы, составляет приблизительно $0.0724 \text{ м}^3$ или $72.4$ литра.