Номер 830, страница 150 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса первого шара: $m_1 = m$

Масса второго шара: $m_2 = m$

Скорость первого шара: $v_1 = v$

Скорость второго шара: $v_2 = 2v$

Удельная теплоемкость свинца: $c$

Найти:

$\Delta T$

Решение:

При неупругом ударе часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию тел, вызывая их нагревание. Будем считать, что удар абсолютно неупругий, то есть после столкновения шары движутся как единое целое. Потерянная кинетическая энергия полностью идет на нагрев шаров.

1. Найдем скорость шаров после столкновения. Для этого применим закон сохранения импульса. Направим ось OX вдоль скорости первого шара. Тогда проекция его скорости на эту ось $v_1 = v$. Второй шар движется навстречу, поэтому проекция его скорости $v_2 = -2v$.

Суммарный импульс системы до столкновения:

$p_{до} = m_1 v_1 + m_2 v_2 = m v + m (-2v) = -mv$

После столкновения шары движутся вместе с общей скоростью $u$. Их суммарная масса равна $m_1 + m_2 = 2m$. Импульс системы после столкновения:

$p_{после} = (m_1 + m_2) u = 2m u$

Согласно закону сохранения импульса, $p_{до} = p_{после}$:

$-mv = 2mu$

Отсюда находим скорость шаров после удара:

$u = -\frac{v}{2}$

Знак «минус» указывает, что после столкновения шары будут двигаться в направлении, в котором до удара двигался второй шар (имевший больший импульс).

2. Вычислим потерю кинетической энергии.

Кинетическая энергия системы до столкновения:

$E_{k, до} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m v^2}{2} + \frac{m (2v)^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{4mv^2}{2} = \frac{5mv^2}{2}$

Кинетическая энергия системы после столкновения:

$E_{k, после} = \frac{(m_1+m_2) u^2}{2} = \frac{2m(-\frac{v}{2})^2}{2} = m \frac{v^2}{4} = \frac{mv^2}{4}$

Количество теплоты $Q$, выделившееся в результате удара, равно убыли кинетической энергии:

$Q = E_{k, до} - E_{k, после} = \frac{5mv^2}{2} - \frac{mv^2}{4} = \frac{10mv^2}{4} - \frac{mv^2}{4} = \frac{9mv^2}{4}$

3. Определим повышение температуры.

Выделившаяся теплота $Q$ идет на нагревание обоих шаров, общая масса которых $2m$. Количество теплоты, необходимое для нагревания, связано с повышением температуры $\Delta T$ формулой:

$Q = c \cdot (m_1+m_2) \cdot \Delta T = c \cdot 2m \cdot \Delta T$

где $c$ — удельная теплоемкость свинца.

Приравниваем два полученных выражения для $Q$:

$\frac{9mv^2}{4} = 2mc\Delta T$

Сокращаем массу $m$ и выражаем искомое повышение температуры $\Delta T$:

$\Delta T = \frac{9v^2}{4 \cdot 2c} = \frac{9v^2}{8c}$

Ответ: Повышение температуры шаров в результате их неупругого удара составит $ \Delta T = \frac{9v^2}{8c} $.