Номер 824, страница 149 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Материал шарика - олово
$\eta = 95\%$
$t = 20 \text{ °C}$
$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$
Удельная теплоемкость олова, $c = 230 \text{ Дж/(кг·°C)}$ (справочное значение)
Температура плавления олова, $t_{плав} = 232 \text{ °C}$ (справочное значение)
Удельная теплота плавления олова, $\lambda = 5,9 \cdot 10^4 \text{ Дж/кг}$ (справочное значение)

Перевод в систему СИ:

$\eta = 0,95$

Найти:

$h$ - ?

Решение:

Потенциальная энергия $E_п$ оловянного шарика массой $m$ на высоте $h$ определяется по формуле:

$E_п = mgh$

Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, в момент удара о поверхность Земли вся потенциальная энергия перейдет в кинетическую. Согласно условию, часть этой энергии, равная $\eta$, переходит во внутреннюю энергию шарика, то есть идет на его нагревание и плавление. Количество теплоты $Q$, которое пошло на нагрев и плавление шарика, равно:

$Q = \eta \cdot E_п = \eta mgh$

С другой стороны, количество теплоты, необходимое для того, чтобы полностью расплавить шарик, состоит из двух частей:

1. Количество теплоты $Q_1$, необходимое для нагревания шарика от начальной температуры $t$ до температуры плавления $t_{плав}$:

$Q_1 = c \cdot m \cdot (t_{плав} - t)$

2. Количество теплоты $Q_2$, необходимое для плавления шарика (фазового перехода из твердого состояния в жидкое) при температуре плавления:

$Q_2 = \lambda \cdot m$

Таким образом, полное количество теплоты, необходимое для нагрева и плавления, равно:

$Q = Q_1 + Q_2 = c \cdot m \cdot (t_{плав} - t) + \lambda \cdot m$

Приравняем два полученных выражения для количества теплоты $Q$:

$\eta mgh = c \cdot m \cdot (t_{плав} - t) + \lambda \cdot m$

Масса шарика $m$ присутствует в каждом члене уравнения, поэтому мы можем на нее сократить:

$\eta gh = c \cdot (t_{плав} - t) + \lambda$

Теперь выразим искомую высоту $h$:

$h = \frac{c \cdot (t_{плав} - t) + \lambda}{\eta g}$

Подставим числовые значения и выполним расчет:

$h = \frac{230 \frac{\text{Дж}}{\text{кг·°C}} \cdot (232 \text{ °C} - 20 \text{ °C}) + 5,9 \cdot 10^4 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}}{0,95 \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}$

$h = \frac{230 \cdot 212 + 59000}{9,31} \frac{\text{Дж/кг}}{\text{м/с}^2}$

$h = \frac{48760 + 59000}{9,31} \text{ м}$

$h = \frac{107760}{9,31} \text{ м} \approx 11574,65 \text{ м}$

Округлим полученное значение до трех значащих цифр:

$h \approx 11600 \text{ м}$ или $11,6 \text{ км}$.

Ответ: оловянный шарик должен падать с высоты примерно 11,6 км.