Номер 827, страница 149 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h_1 = 8.2$ м

$h_2 = 1.0$ м

$\eta = 70\% = 0.7$

$c = 500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (удельная теплоемкость стали, справочное значение)

$g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\Delta t$

Решение:

При падении с высоты $h_1$ стальной шарик обладает начальной потенциальной энергией $E_{p1}$. В момент перед ударом о поверхность эта энергия полностью переходит в кинетическую. Потенциальная энергия на высоте $h_1$ вычисляется по формуле:

$E_{p1} = mgh_1$, где $m$ - масса шарика.

После удара шарик отскакивает на высоту $h_2$. В верхней точке подъема его энергия снова является потенциальной и равна:

$E_{p2} = mgh_2$.

Разница между начальной и конечной механической энергией представляет собой потерю энергии при неупругом ударе. Эта потерянная энергия $\Delta E$ выделяется в виде тепла:

$\Delta E = E_{p1} - E_{p2} = mgh_1 - mgh_2 = mg(h_1 - h_2)$.

Согласно условию, на нагревание самого шарика идет часть этой энергии, равная $\eta$. Таким образом, количество теплоты $Q$, полученное шариком, составляет:

$Q = \eta \cdot \Delta E = \eta mg(h_1 - h_2)$.

С другой стороны, количество теплоты, необходимое для нагревания тела, связано с изменением его температуры $\Delta t$ формулой:

$Q = cm\Delta t$, где $c$ - удельная теплоемкость стали.

Приравнивая два выражения для $Q$, получаем:

$cm\Delta t = \eta mg(h_1 - h_2)$.

Как видно из уравнения, масса шарика $m$ сокращается. Выразим искомое изменение температуры $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{\eta g(h_1 - h_2)}{c}$.

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta t = \frac{0.7 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (8.2 \text{ м} - 1.0 \text{ м})}{500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}} = \frac{0.7 \cdot 9.8 \cdot 7.2}{500} \text{°C}$.

$\Delta t = \frac{49.392}{500} \text{°C} \approx 0.098784 \text{°C}$.

Учитывая, что исходные данные ($h_1, h_2, \eta$) даны с точностью до двух значащих цифр, округлим результат до двух значащих цифр.

$\Delta t \approx 0.099 \text{°C}$.

Ответ: $\Delta t \approx 0.099 \text{°C}$.