Номер 839, страница 151 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$t_0 = 10,0 \, \text{°C}$

$t_1 = 100 \, \text{°C}$

$t_2 = 40,0 \, \text{°C}$

Так как в уравнениях теплового баланса используются разности температур, перевод в систему СИ (Кельвины) не требуется, поскольку $ \Delta t(°\text{C}) = \Delta T(\text{K}) $.

Найти:

$t$ — конечная температура системы.

Решение:

Задача решается в два этапа. На первом этапе мы находим соотношение теплоемкостей воды и тела, а на втором — конечную температуру после добавления второго тела.

Пусть $C_в = c_в m_в$ — теплоемкость воды, а $C_т = c_т m_т$ — теплоемкость одного тела.

1. Опускание первого тела.

При установлении теплового равновесия количество теплоты, отданное нагретым телом, равно количеству теплоты, полученному водой. Составим уравнение теплового баланса (пренебрегая теплообменом с окружающей средой):

$Q_{отд} = Q_{пол}$

Тело отдает теплоту: $Q_{отд} = C_т (t_1 - t_2)$.

Вода получает теплоту: $Q_{пол} = C_в (t_2 - t_0)$.

Приравняем эти величины:

$C_т (t_1 - t_2) = C_в (t_2 - t_0)$

Подставим известные значения температур:

$C_т (100 - 40,0) = C_в (40,0 - 10,0)$

$C_т \cdot 60 = C_в \cdot 30$

Из этого уравнения выразим соотношение теплоемкостей:

$C_в = \frac{60}{30} C_т = 2C_т$

Теплоемкость воды в два раза больше теплоемкости одного тела.

2. Опускание второго тела.

Теперь в систему, состоящую из воды и первого тела при температуре $t_2$, опускают второе такое же тело, нагретое до температуры $t_1$. Установится новая конечная температура $t$.

Второе тело отдает теплоту: $Q'_{отд} = C_т (t_1 - t)$.

Система "вода + первое тело" получает теплоту. Суммарная теплоемкость этой системы равна $C_в + C_т$.

$Q'_{пол} = (C_в + C_т)(t - t_2)$

Составим новое уравнение теплового баланса:

$C_т (t_1 - t) = (C_в + C_т)(t - t_2)$

Подставим в это уравнение найденное ранее соотношение $C_в = 2C_т$:

$C_т (t_1 - t) = (2C_т + C_т)(t - t_2)$

$C_т (t_1 - t) = 3C_т(t - t_2)$

Сократим $C_т$ (так как теплоемкость тела не равна нулю):

$t_1 - t = 3(t - t_2)$

Подставим числовые значения и решим уравнение относительно $t$:

$100 - t = 3(t - 40,0)$

$100 - t = 3t - 120$

$100 + 120 = 3t + t$

$220 = 4t$

$t = \frac{220}{4} = 55 \, \text{°C}$

С учетом значащих цифр в исходных данных, ответ следует записать как 55,0 °C.

Ответ: Конечная температура воды станет $t = 55,0 \, \text{°C}$.