Номер 790, страница 142 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Газ - одноатомный идеальный

Количество вещества - $\nu$

Процесс 1: $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$

Процесс 2: $1 \rightarrow 4 \rightarrow 3$

Параметры состояний (из графика):

Состояние 1: $p_1 = p_0, V_1 = V_0$

Состояние 2: $p_2 = 2p_0, V_2 = V_0$

Состояние 3: $p_3 = 2p_0, V_3 = 2V_0$

Состояние 4: $p_4 = p_0, V_4 = 2V_0$

Найти:

$\frac{Q_1}{Q_2}$

Решение:

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты $Q$, полученное газом, равно сумме изменения его внутренней энергии $\Delta U$ и работы $A$, совершенной газом: $Q = \Delta U + A$.

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ для одноатомного идеального газа определяется как $\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$. Используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu R T$, можно выразить изменение внутренней энергии через давление и объем: $\Delta U = \frac{3}{2} (p_f V_f - p_i V_i)$, где $p_i, V_i$ и $p_f, V_f$ - начальные и конечные давление и объем.

Работа газа $A$ для изохорного процесса ($V=const$) равна нулю, а для изобарного процесса ($p=const$) равна $A = p \Delta V$.

Рассмотрим первый способ перевода газа из состояния 1 в состояние 3 (процесс $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$).

Общее количество теплоты $Q_1$ равно сумме количеств теплоты на участках $1 \rightarrow 2$ и $2 \rightarrow 3$: $Q_1 = Q_{1 \rightarrow 2} + Q_{2 \rightarrow 3}$.

На участке $1 \rightarrow 2$ происходит изохорное нагревание ($V = V_0 = const$).

Работа газа $A_{1 \rightarrow 2} = 0$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{1 \rightarrow 2} = \frac{3}{2} (p_2 V_2 - p_1 V_1) = \frac{3}{2} (2p_0 V_0 - p_0 V_0) = \frac{3}{2} p_0 V_0$.

Количество теплоты: $Q_{1 \rightarrow 2} = \Delta U_{1 \rightarrow 2} + A_{1 \rightarrow 2} = \frac{3}{2} p_0 V_0$.

На участке $2 \rightarrow 3$ происходит изобарное расширение ($p = 2p_0 = const$).

Работа газа: $A_{2 \rightarrow 3} = p_2 (V_3 - V_2) = 2p_0 (2V_0 - V_0) = 2p_0 V_0$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{2 \rightarrow 3} = \frac{3}{2} (p_3 V_3 - p_2 V_2) = \frac{3}{2} (2p_0 \cdot 2V_0 - 2p_0 \cdot V_0) = \frac{3}{2} (4p_0 V_0 - 2p_0 V_0) = 3p_0 V_0$.

Количество теплоты: $Q_{2 \rightarrow 3} = \Delta U_{2 \rightarrow 3} + A_{2 \rightarrow 3} = 3p_0 V_0 + 2p_0 V_0 = 5p_0 V_0$.

Суммарное количество теплоты для первого способа:

$Q_1 = Q_{1 \rightarrow 2} + Q_{2 \rightarrow 3} = \frac{3}{2} p_0 V_0 + 5p_0 V_0 = \frac{3+10}{2} p_0 V_0 = \frac{13}{2} p_0 V_0$.

Рассмотрим второй способ перевода газа из состояния 1 в состояние 3 (процесс $1 \rightarrow 4 \rightarrow 3$).

Общее количество теплоты $Q_2$ равно сумме количеств теплоты на участках $1 \rightarrow 4$ и $4 \rightarrow 3$: $Q_2 = Q_{1 \rightarrow 4} + Q_{4 \rightarrow 3}$.

На участке $1 \rightarrow 4$ происходит изобарное расширение ($p = p_0 = const$).

Работа газа: $A_{1 \rightarrow 4} = p_1 (V_4 - V_1) = p_0 (2V_0 - V_0) = p_0 V_0$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{1 \rightarrow 4} = \frac{3}{2} (p_4 V_4 - p_1 V_1) = \frac{3}{2} (p_0 \cdot 2V_0 - p_0 V_0) = \frac{3}{2} p_0 V_0$.

Количество теплоты: $Q_{1 \rightarrow 4} = \Delta U_{1 \rightarrow 4} + A_{1 \rightarrow 4} = \frac{3}{2} p_0 V_0 + p_0 V_0 = \frac{5}{2} p_0 V_0$.

На участке $4 \rightarrow 3$ происходит изохорное нагревание ($V = 2V_0 = const$).

Работа газа $A_{4 \rightarrow 3} = 0$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{4 \rightarrow 3} = \frac{3}{2} (p_3 V_3 - p_4 V_4) = \frac{3}{2} (2p_0 \cdot 2V_0 - p_0 \cdot 2V_0) = \frac{3}{2} (4p_0 V_0 - 2p_0 V_0) = 3p_0 V_0$.

Количество теплоты: $Q_{4 \rightarrow 3} = \Delta U_{4 \rightarrow 3} + A_{4 \rightarrow 3} = 3p_0 V_0$.

Суммарное количество теплоты для второго способа:

$Q_2 = Q_{1 \rightarrow 4} + Q_{4 \rightarrow 3} = \frac{5}{2} p_0 V_0 + 3p_0 V_0 = \frac{5+6}{2} p_0 V_0 = \frac{11}{2} p_0 V_0$.

Теперь найдем отношение количеств теплоты:

$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{\frac{13}{2} p_0 V_0}{\frac{11}{2} p_0 V_0} = \frac{13}{11}$.

Ответ: $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{13}{11}$.