Номер 785, страница 141 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$\nu = 2,0$ моль

$Q_{12} = 0,25$ кДж

$A = 83$ Дж

$R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Перевод в СИ:

$Q_{12} = 0,25 \cdot 10^3$ Дж $= 250$ Дж

Найти:

$\Delta T$

Решение:

Рассмотрим термодинамический цикл, состоящий из трех процессов: 1-2 (изотермическое расширение), 2-3 (изобарное сжатие) и 3-1 (изохорное нагревание).

1. Процесс 1-2 является изотермическим расширением. При изотермическом процессе температура идеального газа не меняется ($T=const$), следовательно, изменение его внутренней энергии равно нулю ($\Delta U_{12} = 0$). Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты, полученное газом, равно работе, совершенной газом:

$A_{12} = Q_{12} = 250$ Дж.

2. Процесс 3-1 является изохорным нагреванием. При изохорном процессе объем газа не меняется ($V=const$), поэтому работа, совершаемая газом, равна нулю:

$A_{31} = 0$.

3. Полная работа, совершенная газом за цикл, равна сумме работ на каждом из участков:

$A = A_{12} + A_{23} + A_{31}$.

Отсюда можем выразить работу газа на участке изобарного сжатия (2-3):

$A_{23} = A - A_{12} - A_{31} = 83 \text{ Дж} - 250 \text{ Дж} - 0 = -167$ Дж.

Знак минус указывает на то, что работа совершалась над газом, что соответствует процессу сжатия.

4. Определим, в каких состояниях достигаются максимальная и минимальная температуры. На участке 1-2 температура постоянна: $T_1 = T_2$. Участок 2-3 — это изобарное сжатие ($P=const$, $V$ уменьшается). Согласно закону Гей-Люссака ($V/T = const$), при уменьшении объема температура также уменьшается, следовательно, $T_3 < T_2$. Участок 3-1 — это изохорное нагревание, температура повышается от $T_3$ до $T_1$. Таким образом, максимальная температура в цикле равна $T_{max} = T_1 = T_2$, а минимальная — $T_{min} = T_3$.

Искомая разность температур: $\Delta T = T_{max} - T_{min} = T_2 - T_3$.

5. Работа газа в изобарном процессе (2-3) определяется по формуле $A_{23} = P_2(V_3 - V_2)$. Используя уравнение состояния идеального газа ($PV = \nu RT$), мы можем связать работу с изменением температуры:

$A_{23} = P_2V_3 - P_2V_2 = \nu RT_3 - \nu RT_2 = \nu R(T_3 - T_2) = -\nu R(T_2 - T_3)$.

Выразим отсюда искомую разность температур $\Delta T = T_2 - T_3$:

$\Delta T = -\frac{A_{23}}{\nu R}$.

6. Подставим числовые значения и произведем расчет:

$\Delta T = -\frac{-167 \text{ Дж}}{2,0 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}} = \frac{167}{16,62}$ К $\approx 10,048$ К.

Учитывая, что данные в условии задачи приведены с двумя значащими цифрами, округлим результат до двух значащих цифр.

$\Delta T \approx 10$ К.

Ответ: $\Delta T \approx 10$ К.