Номер 791, страница 142 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Идеальный одноатомный газ

Количество вещества: $ \nu = 1,00 \, \text{моль} $

Количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл: $ Q = 27,0 \, \text{кДж} $

График циклического процесса в координатах $(p, V)$

Перевод в систему СИ:

$ Q = 27,0 \times 10^3 \, \text{Дж} = 27000 \, \text{Дж} $

Найти:

$ T_6 $ - температуру газа в состоянии 6.

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, переданное газу, идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$: $Q = \Delta U + A$.

Количество теплоты, полученное газом от нагревателя за один цикл ($Q_{нагр}$), равно сумме количеств теплоты, полученных на тех участках цикла, где $Q > 0$.

Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии определяется как $ \Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T = \frac{3}{2} (p_f V_f - p_i V_i) $, где $i$ и $f$ - начальное и конечное состояния.

Работа газа $A$ на участке численно равна площади под графиком процесса в координатах $(p, V)$.

Определим параметры газа в ключевых точках цикла из графика, используя условные единицы $p_0$ и $V_0$:

• Состояние 1: $p_1 = 2p_0, V_1 = 2V_0$
• Состояние 2: $p_2 = 4p_0, V_2 = 2V_0$
• Состояние 3: $p_3 = 6p_0, V_3 = 4V_0$
• Состояние 4: $p_4 = 8p_0, V_4 = 6V_0$
• Состояние 5: $p_5 = 8p_0, V_5 = 8V_0$
• Состояние 6: $p_6 = 2p_0, V_6 = 8V_0$

Рассмотрим каждый участок цикла:

1. Участок 1→2 (изохорное нагревание, $V = \text{const}$):

Работа $A_{12} = 0$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(4p_0 \cdot 2V_0 - 2p_0 \cdot 2V_0) = \frac{3}{2}(4p_0V_0) = 6p_0V_0$.

Количество теплоты: $Q_{12} = \Delta U_{12} = 6p_0V_0$. Так как $Q_{12} > 0$, теплота подводится к газу.

2. Участок 2→3 (расширение по дуге окружности):

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{23} = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{3}{2}(6p_0 \cdot 4V_0 - 4p_0 \cdot 2V_0) = \frac{3}{2}(24p_0V_0 - 8p_0V_0) = \frac{3}{2}(16p_0V_0) = 24p_0V_0$.

Работа $A_{23}$ равна площади под кривой 2→3. Участок 2→3 — это четверть окружности с центром в точке $O_1(2V_0, 6p_0)$ и радиусами, равными $2V_0$ по оси V и $2p_0$ по оси p. Площадь под кривой можно вычислить как площадь прямоугольника с вершинами в $(2V_0, 0)$ и $(4V_0, 6p_0)$ за вычетом площади четверти эллипса. $A_{23} = (4V_0-2V_0) \cdot 6p_0 - \frac{1}{4}\pi (2V_0)(2p_0) = 12p_0V_0 - \pi p_0V_0 = (12-\pi)p_0V_0$.

Количество теплоты: $Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 24p_0V_0 + (12-\pi)p_0V_0 = (36-\pi)p_0V_0$. Так как $\pi \approx 3.14$, $Q_{23} > 0$, теплота подводится.

3. Участок 3→4 (расширение по дуге окружности):

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{34} = \frac{3}{2}(p_4V_4 - p_3V_3) = \frac{3}{2}(8p_0 \cdot 6V_0 - 6p_0 \cdot 4V_0) = \frac{3}{2}(48p_0V_0 - 24p_0V_0) = \frac{3}{2}(24p_0V_0) = 36p_0V_0$.

Работа $A_{34}$ равна площади под кривой 3→4. Участок 3→4 — это четверть окружности с центром в $O_2(6V_0, 6p_0)$. Площадь под кривой можно вычислить как сумму площади прямоугольника с вершинами в $(4V_0, 0)$ и $(6V_0, 6p_0)$ и площади четверти эллипса. $A_{34} = (6V_0-4V_0) \cdot 6p_0 + \frac{1}{4}\pi (2V_0)(2p_0) = 12p_0V_0 + \pi p_0V_0 = (12+\pi)p_0V_0$.

Количество теплоты: $Q_{34} = \Delta U_{34} + A_{34} = 36p_0V_0 + (12+\pi)p_0V_0 = (48+\pi)p_0V_0$. Так как $Q_{34} > 0$, теплота подводится.

4. Участок 4→5 (изобарное расширение, $p = \text{const}$):

Работа $A_{45} = p_4(V_5 - V_4) = 8p_0(8V_0 - 6V_0) = 16p_0V_0$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{45} = \frac{3}{2}(p_5V_5 - p_4V_4) = \frac{3}{2}(8p_0 \cdot 8V_0 - 8p_0 \cdot 6V_0) = \frac{3}{2}(16p_0V_0) = 24p_0V_0$.

Количество теплоты: $Q_{45} = \Delta U_{45} + A_{45} = 24p_0V_0 + 16p_0V_0 = 40p_0V_0$. Так как $Q_{45} > 0$, теплота подводится.

5. Участок 5→6 (изохорное охлаждение, $V = \text{const}$):

Работа $A_{56} = 0$. Температура падает, так как давление падает при постоянном объеме. Теплота отводится.

6. Участок 6→1 (изобарное сжатие, $p = \text{const}$):

Работа $A_{61} = p_6(V_1 - V_6) = 2p_0(2V_0 - 8V_0) = -12p_0V_0$. Температура падает, так как объем уменьшается при постоянном давлении. Теплота отводится.

Общее количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл, равно сумме положительных количеств теплоты:

$Q_{нагр} = Q_{12} + Q_{23} + Q_{34} + Q_{45}$

$Q_{нагр} = 6p_0V_0 + (36-\pi)p_0V_0 + (48+\pi)p_0V_0 + 40p_0V_0$

$Q_{нагр} = (6 + 36 - \pi + 48 + \pi + 40)p_0V_0 = 130 p_0V_0$

По условию $Q_{нагр} = Q = 27000 \, \text{Дж}$.

$130 p_0V_0 = 27000 \, \text{Дж}$

$p_0V_0 = \frac{27000}{130} = \frac{2700}{13} \, \text{Дж}$

Теперь найдем температуру в состоянии 6. Используем уравнение состояния идеального газа:

$p_6V_6 = \nu R T_6$

Из графика $p_6 = 2p_0$ и $V_6 = 8V_0$.

$(2p_0)(8V_0) = \nu R T_6$

$16 p_0V_0 = \nu R T_6$

Отсюда выразим температуру $T_6$:

$T_6 = \frac{16 p_0V_0}{\nu R}$

Подставим известные значения:

$T_6 = \frac{16 \cdot (\frac{2700}{13} \, \text{Дж})}{1,00 \, \text{моль} \cdot 8,31 \, \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}} = \frac{16 \cdot 2700}{13 \cdot 8,31} \, \text{К} \approx \frac{43200}{108,03} \, \text{К} \approx 399,89 \, \text{К}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем $T_6 \approx 400 \, \text{К}$.

Ответ: $ T_6 \approx 400 \, \text{К} $.