Номер 776, страница 140 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Газ - одноатомный идеальный

$V_1 = 1,00$ л $= 1,00 \cdot 10^{-3}$ м$^3$

$p_1 = 350$ кПа $= 350 \cdot 10^3$ Па

$T_1 = 300$ К

Процесс - адиабатический

$A' = 35,0$ Дж (работа внешних сил над газом)

Найти:

$T_2$ - ?

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, переданное системе, идет на изменение ее внутренней энергии $\Delta U$ и совершение системой работы $A_{газа}$ над внешними телами:

$Q = \Delta U + A_{газа}$

Поскольку процесс сжатия газа адиабатический, теплообмен с окружающей средой отсутствует, то есть $Q = 0$. Тогда первый закон термодинамики для этого процесса принимает вид:

$\Delta U + A_{газа} = 0$, или $\Delta U = -A_{газа}$

В условии задачи дана работа $A$, совершённая против сил давления газа. Это работа внешних сил над газом, обозначим ее $A'$. Работа газа $A_{газа}$ и работа внешних сил $A'$ связаны соотношением $A_{газа} = -A'$.

Следовательно, изменение внутренней энергии газа равно работе, совершенной над ним внешними силами:

$\Delta U = -(-A') = A' = 35,0$ Дж.

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ одноатомного идеального газа определяется формулой:

$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T = \frac{3}{2} \nu R (T_2 - T_1)$

где $\nu$ - количество вещества газа, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T_1$ и $T_2$ - начальная и конечная температуры газа.

Приравняем два выражения для $\Delta U$:

$A' = \frac{3}{2} \nu R (T_2 - T_1)$

Количество вещества $\nu$ можно найти из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона) для начального состояния:

$p_1 V_1 = \nu R T_1$

Отсюда выразим произведение $\nu R$:

$\nu R = \frac{p_1 V_1}{T_1}$

Подставим это выражение в формулу для работы:

$A' = \frac{3}{2} \frac{p_1 V_1}{T_1} (T_2 - T_1)$

Теперь выразим из этого уравнения конечную температуру $T_2$:

$\frac{2 A' T_1}{3 p_1 V_1} = T_2 - T_1$

$T_2 = T_1 + \frac{2 A' T_1}{3 p_1 V_1} = T_1 \left(1 + \frac{2 A'}{3 p_1 V_1}\right)$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$T_2 = 300 \cdot \left(1 + \frac{2 \cdot 35,0}{3 \cdot 350 \cdot 10^3 \cdot 1,00 \cdot 10^{-3}}\right) = 300 \cdot \left(1 + \frac{70}{3 \cdot 350}\right) = 300 \cdot \left(1 + \frac{70}{1050}\right)$

$T_2 = 300 \cdot \left(1 + \frac{1}{15}\right) = 300 \cdot \frac{16}{15} = 20 \cdot 16 = 320$ К.

Ответ: конечная температура газа $T_2 = 320$ К.