Номер 3.28, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.28. Решите неравенство $ \frac{x-1}{(x+2)^3} < 0 $.

Для решения данного рационального неравенства используется метод интервалов.

Исходное неравенство:

$$ \frac{x-1}{(x+2)^3} < 0 $$

1. Находим нули числителя и знаменателя.

Это точки, в которых выражение может поменять свой знак. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы.

• Приравниваем числитель к нулю: $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
• Приравниваем знаменатель к нулю: $(x + 2)^3 = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2$.

2. Отмечаем точки на числовой оси и определяем знаки.

Отметим точки $x = -2$ и $x = 1$ на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое ($< 0$), обе точки будут "выколотыми", то есть они не включаются в интервал решения. Точка $x=-2$ также исключается, так как обращает знаменатель в ноль (область допустимых значений $x \neq -2$).

Эти точки делят ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$ и $(1; \infty)$.

Определим знак выражения в каждом из интервалов, подставив произвольное значение из этого интервала:

• Интервал $(1; \infty)$: возьмем $x=2$.
  $\frac{2-1}{(2+2)^3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$. Знак (+).
• Интервал $(-2; 1)$: возьмем $x=0$.
  $\frac{0-1}{(0+2)^3} = \frac{-1}{8}$. Знак (-).
• Интервал $(-\infty; -2)$: возьмем $x=-3$.
  $\frac{-3-1}{(-3+2)^3} = \frac{-4}{(-1)^3} = 4$. Знак (+).

3. Выбираем подходящий интервал.

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение $\frac{x-1}{(x+2)^3}$ меньше нуля. Согласно определенным знакам, это происходит на интервале $(-2; 1)$.

3.28. Решите неравенство $\frac{x-1}{(x+2)^3} < 0$. Ответ: $x \in (-2; 1)$