Номер 3.23, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.23. Прямая $y = kx + b$ проходит через точки $A(2; 0)$ и $B(-2; 10)$. Запишите уравнение этой прямой.

Чтобы найти уравнение прямой $ y = kx + b $, проходящей через две заданные точки, необходимо найти коэффициенты $ k $ (угловой коэффициент) и $ b $ (свободный член). Для этого мы можем составить систему из двух линейных уравнений, подставив координаты каждой точки в уравнение прямой.

Даны точки A(2; 0) и B(-2; 10).

1. Подставим координаты точки A(2; 0) в уравнение $ y = kx + b $:
$ 0 = k \cdot 2 + b $
$ 2k + b = 0 $

2. Подставим координаты точки B(-2; 10) в уравнение $ y = kx + b $:
$ 10 = k \cdot (-2) + b $
$ -2k + b = 10 $

Теперь у нас есть система из двух уравнений: $$ \begin{cases} 2k + b = 0 \\ -2k + b = 10 \end{cases} $$

Решим эту систему. Удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при $ k $ противоположны. Сложим первое и второе уравнения: $$ (2k + b) + (-2k + b) = 0 + 10 $$ $$ 2b = 10 $$ $$ b = \frac{10}{2} = 5 $$

Теперь, зная $ b = 5 $, подставим это значение в первое уравнение системы ($ 2k + b = 0 $), чтобы найти $ k $: $$ 2k + 5 = 0 $$ $$ 2k = -5 $$ $$ k = -\frac{5}{2} $$

Запишите уравнение этой прямой. Ответ: Мы нашли коэффициенты: $ k = -\frac{5}{2} $ и $ b = 5 $. Подставим их в общее уравнение прямой. Для выполнения требования о выделении целой части, представим коэффициент $ k $ в виде смешанного числа: $$ k = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} $$ Таким образом, искомое уравнение прямой: $$ y = -2\frac{1}{2}x + 5 $$