Номер 3.25, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.25. Найдите нули функции $f(x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x$.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $f(x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

$\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Сведение к однородному уравнению

Перенесем слагаемое с косинусом в правую часть уравнения:

$\sin x = \sqrt{3} \cos x$

Заметим, что в данном уравнении $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ (в этом случае было бы $0^2 + 0^2 = 0 \neq 1$).

Так как $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3}$

Используя определение тангенса, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$\tan x = \sqrt{3}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Поскольку арктангенс $\sqrt{3}$ равен $\frac{\pi}{3}$, получаем:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Способ 2: Метод введения вспомогательного угла

Преобразуем выражение вида $a \sin x + b \cos x$ к виду $R \sin(x \pm \alpha)$ или $R \cos(x \pm \alpha)$.

В нашем уравнении $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$ коэффициенты $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$. Вычислим множитель $R$:

$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

Вынесем $R=2$ за скобки в левой части исходного уравнения:

$2 \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = 0$

Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения в уравнение:

$2 \left( \sin x \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) \right) = 0$

Выражение в скобках является формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0$

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0$

Синус равен нулю, когда его аргумент равен $\pi n$ для любого целого $n$.

$x - \frac{\pi}{3} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Оба способа приводят к одному и тому же множеству решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$