Номер 3.18, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.18. Вычислите производную функции:

a) $f(x) = x^2 + 8$;

б) $f(x) = -2x + 7$ — в точках $x = -3; 0; 1,5; 9$.

a) Для того чтобы вычислить производную функции $f(x) = x^2 + 8$, воспользуемся основными правилами дифференцирования.

Правила, которые нам понадобятся:

• Производная суммы функций равна сумме их производных: $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.
• Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.
• Производная константы (постоянной величины) равна нулю: $(C)' = 0$.

Применяя эти правила к нашей функции, получаем:

$f'(x) = (x^2 + 8)' = (x^2)' + (8)'$

Находим производную каждого слагаемого:

Производная от $x^2$ по степенному правилу (где $n=2$):

$(x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$

Производная от константы 8:

$(8)' = 0$

Теперь сложим полученные результаты:

$f'(x) = 2x + 0 = 2x$

Ответ: $2x$.

б) Сначала найдем производную функции $f(x) = -2x + 7$, а затем вычислим ее значение в точках $x = -3; 0; 1,5; 9$.

Находим производную функции $f(x) = -2x + 7$, используя те же правила дифференцирования:

$f'(x) = (-2x + 7)' = (-2x)' + (7)'$

Для нахождения производной от $-2x$ используем правило производной произведения константы на функцию $(C \cdot u(x))' = C \cdot u'(x)$ и то, что $(x)'=1$:

$(-2x)' = -2 \cdot (x)' = -2 \cdot 1 = -2$

Производная от константы 7 равна нулю:

$(7)' = 0$

Складываем результаты:

$f'(x) = -2 + 0 = -2$

Производная этой функции является постоянной величиной (константой), равной -2. Это означает, что ее значение не зависит от переменной $x$.

Следовательно, значение производной в любой точке, включая заданные, будет одинаковым:

• При $x = -3$, $f'(-3) = -2$.
• При $x = 0$, $f'(0) = -2$.
• При $x = 1,5$, $f'(1,5) = -2$.
• При $x = 9$, $f'(9) = -2$.

Ответ: -2.