Номер 3.21, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.21. Для функции $f(x) = x^2 + 5x$ найдите:

а) приращение функции при переходе от $x_0$ к $x_0 + \Delta x$;

б) приращение функции, если $x_0 = 2$; $\Delta x = 0,1$;

в) отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$;

г) к чему стремится отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$, если $\Delta x$ стремится к нулю;

д) производную функции;

е) производную функции в точке $x = -3$.

а) приращение функции при переходе от $x_0$ к $x_0 + \Delta x$;

Приращение функции $\Delta f$ по определению равно разности значений функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Для заданной функции $f(x) = x^2 + 5x$ найдем:

$f(x_0 + \Delta x) = (x_0 + \Delta x)^2 + 5(x_0 + \Delta x) = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 + 5x_0 + 5\Delta x$

$f(x_0) = x_0^2 + 5x_0$

Теперь вычислим разность:

$\Delta f = (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 + 5x_0 + 5\Delta x) - (x_0^2 + 5x_0)$

$\Delta f = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 + 5x_0 + 5\Delta x - x_0^2 - 5x_0$

После сокращения подобных членов получаем:

$\Delta f = 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 + 5\Delta x$

Ответ: $2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 + 5\Delta x$

б) приращение функции, если $x_0 = 2; \Delta x = 0,1$;

Для нахождения приращения подставим значения $x_0 = 2$ и $\Delta x = 0,1$ в формулу, полученную в пункте а):

$\Delta f = 2 \cdot 2 \cdot 0,1 + (0,1)^2 + 5 \cdot 0,1$

$\Delta f = 0,4 + 0,01 + 0,5 = 0,91$

Также можно было вычислить значения функции в точках $x_0 = 2$ и $x_0 + \Delta x = 2,1$ и найти их разность:

$f(2) = 2^2 + 5 \cdot 2 = 4 + 10 = 14$

$f(2,1) = (2,1)^2 + 5 \cdot 2,1 = 4,41 + 10,5 = 14,91$

$\Delta f = f(2,1) - f(2) = 14,91 - 14 = 0,91$

Ответ: 0,91

в) отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$;

Разделим выражение для приращения функции $\Delta f$ из пункта а) на приращение аргумента $\Delta x$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 + 5\Delta x}{\Delta x}$

Поскольку $\Delta x \neq 0$, мы можем сократить дробь, разделив каждый член числителя на $\Delta x$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x + 5$

Ответ: $2x_0 + \Delta x + 5$

г) к чему стремится отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$, если $\Delta x$ стремится к нулю;

Для ответа на этот вопрос необходимо найти предел отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ при $\Delta x \to 0$. Это по определению есть производная функции в точке $x_0$.

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x_0 + \Delta x + 5)$

При $\Delta x \to 0$ слагаемое $\Delta x$ также стремится к нулю, тогда как остальные слагаемые не зависят от $\Delta x$.

$\lim_{\Delta x \to 0} (2x_0 + \Delta x + 5) = 2x_0 + 0 + 5 = 2x_0 + 5$

Ответ: $2x_0 + 5$

д) производную функции;

Производная функции $f'(x)$ является обобщением результата, полученного в пункте г), для произвольной точки $x$. То есть, это предел отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ при $\Delta x \to 0$, где вместо $x_0$ используется $x$.

$f'(x) = 2x + 5$

Этот же результат можно получить, используя стандартные правила дифференцирования:

$f'(x) = (x^2 + 5x)' = (x^2)' + (5x)' = 2x + 5$

Ответ: $2x + 5$

е) производную функции в точке $x = -3$.

Для нахождения значения производной в конкретной точке, подставим $x = -3$ в выражение для производной $f'(x)$, полученное в пункте д):

$f'(x) = 2x + 5$

$f'(-3) = 2 \cdot (-3) + 5 = -6 + 5 = -1$

Ответ: -1