Номер 3.17, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.17. Найдите производную функции, используя алгоритм:

а) $f(x) = x^2 + 8$;

б) $f(x) = -2x + 7$.

Для нахождения производной функции по определению (используя алгоритм), необходимо вычислить предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Применим этот алгоритм для каждой из функций.

a) Найдём производную функции $f(x) = x^2 + 8$.

1. Найдём приращение функции $\Delta f$.
   Сначала найдём значение функции в точке $x + \Delta x$:
   $f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + 8 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 8$.
   Теперь найдём приращение:
   $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 8) - (x^2 + 8) = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$.
2. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$.
   $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x)}{\Delta x} = 2x + \Delta x$.
3. Вычислим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$.
   $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x$.

Ответ: $2x$.

б) Найдём производную функции $f(x) = -2x + 7$.

1. Найдём приращение функции $\Delta f$.
   Сначала найдём значение функции в точке $x + \Delta x$:
   $f(x + \Delta x) = -2(x + \Delta x) + 7 = -2x - 2\Delta x + 7$.
   Теперь найдём приращение:
   $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (-2x - 2\Delta x + 7) - (-2x + 7) = -2\Delta x$.
2. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$.
   $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-2\Delta x}{\Delta x} = -2$.
3. Вычислим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$.
   $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (-2) = -2$.

Ответ: $-2$.