Номер 3.22, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.22. Среди чисел $-3; \frac{2}{7}; \sqrt[5]{3}; 0; 9; \frac{\sqrt{2}}{2}; 5,(23); -7; \pi; 7,8; 15$ выберите натуральные, целые, рациональные, иррациональные. Какому числовому множеству принадлежат все данные числа?

Для классификации данных чисел, давайте сначала определим каждое из числовых множеств.

• Натуральные числа ($ \mathbb{N} $) — это числа, которые мы используем для счета предметов: 1, 2, 3, ...
• Целые числа ($ \mathbb{Z} $) — это натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
• Рациональные числа ($ \mathbb{Q} $) — это числа, которые можно представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $, где $ m $ — целое число, а $ n $ — натуральное. Любое целое число, конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая дробь является рациональным числом.
• Иррациональные числа ($ \mathbb{I} $) — это числа, которые не могут быть представлены в виде дроби $ \frac{m}{n} $. Их десятичное представление — бесконечная непериодическая дробь.

Теперь рассмотрим каждое число из заданного списка: $ -3; \frac{2}{7}; \sqrt[5]{3}; 0; 9; \frac{\sqrt{2}}{2}; 5,(23); -7; \pi; 7,8; 15 $.

• $ -3 $: Является целым отрицательным числом, следовательно, входит в множество целых и рациональных чисел.
• $ \frac{2}{7} $: Представлено в виде дроби, является рациональным числом.
• $ \sqrt[5]{3} $: Корень пятой степени из 3. Так как 3 не является точной пятой степенью какого-либо рационального числа, это число иррациональное.
• $ 0 $: Является целым числом, а также рациональным ($0 = \frac{0}{1}$).
• $ 9 $: Является натуральным числом, а также целым и рациональным.
• $ \frac{\sqrt{2}}{2} $: Содержит иррациональное число $ \sqrt{2} $, поэтому само число также является иррациональным.
• $ 5,(23) $: Бесконечная периодическая десятичная дробь $ 5.232323... $. Такие числа всегда рациональны. Его можно представить как неправильную дробь $ 5\frac{23}{99} = \frac{518}{99} $.
• $ -7 $: Целое отрицательное число, входит в множество целых и рациональных чисел.
• $ \pi $: Число пи, классическое иррациональное число.
• $ 7,8 $: Конечная десятичная дробь, является рациональным числом. Её можно представить как неправильную дробь $ 7,8 = \frac{78}{10} = \frac{39}{5} $.
• $ 15 $: Натуральное число, а также целое и рациональное.

Основываясь на этом анализе, распределим числа по указанным категориям.

натуральные: Ответ: 9; 15.

целые: Ответ: -3; 0; 9; -7; 15.

рациональные: Ответ: -3; $ \frac{2}{7} $; 0; 9; 5,(23); -7; 7,8; 15. Для неправильных дробей: целая часть числа $ 5,(23) = \frac{518}{99} $ равна 5, целая часть числа $ 7,8 = \frac{39}{5} $ равна 7.

иррациональные: Ответ: $ \sqrt[5]{3} $; $ \frac{\sqrt{2}}{2} $; $ \pi $.

Какому числовому множеству принадлежат все данные числа?
Данный набор содержит как рациональные, так и иррациональные числа. Множество, которое объединяет все рациональные и все иррациональные числа, называется множеством действительных (или вещественных) чисел, обозначается как $ \mathbb{R} $.
Ответ: Все данные числа принадлежат множеству действительных чисел.