Номер 3.15, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.15. Найдите отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$, если:

a) $f(x) = x^2 + 8$;

б) $f(x) = -2x + 7$.

Отношение приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$, также известное как разностное отношение, вычисляется по формуле:

Найдем это отношение для каждой из заданных функций.

а) $f(x) = x^2 + 8$;

1. Сначала найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$.
Для этого подставляем выражение для функции $f(x)$:
$\Delta f = ((x + \Delta x)^2 + 8) - (x^2 + 8)$
Раскрываем скобки и упрощаем полученное выражение:
$\Delta f = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 8) - x^2 - 8$
$\Delta f = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$

2. Далее находим искомое отношение, разделив приращение функции $\Delta f$ на приращение аргумента $\Delta x$ (при условии, что $\Delta x \neq 0$):
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}$
Выносим в числителе общий множитель $\Delta x$ за скобки и сокращаем дробь:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x (2x + \Delta x)}{\Delta x} = 2x + \Delta x$

Ответ: $2x + \Delta x$.

б) $f(x) = -2x + 7$.

1. Аналогично найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$.
Подставляем выражение для функции $f(x)$:
$\Delta f = (-2(x + \Delta x) + 7) - (-2x + 7)$
Раскрываем скобки и упрощаем:
$\Delta f = -2x - 2\Delta x + 7 + 2x - 7$
$\Delta f = -2\Delta x$

2. Теперь находим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ (при условии, что $\Delta x \neq 0$):
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-2\Delta x}{\Delta x} = -2$

Ответ: $-2$.