Номер 3.8, страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.8. Определите, к чему стремится отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ для функции:

а) $f(x) = x^2 + 1$;

б) $f(x) = -3x + 2$;

в) $f(x) = 3x^2$;

г) $f(x) = \frac{8}{x}$, — если $\Delta x$ стремится к нулю $(\Delta x \to 0)$.

Вопрос заключается в нахождении предела отношения приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда $\Delta x$ стремится к нулю. Это является определением производной функции $f'(x)$.

Производная функции $f(x)$ вычисляется по формуле:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Рассчитаем этот предел для каждой из предложенных функций.

а) Для функции $f(x) = x^2 + 1$:

1. Найдем приращение функции $\Delta f$:
   $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = ((x + \Delta x)^2 + 1) - (x^2 + 1)$
   $\Delta f = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 1) - x^2 - 1 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$
2. Составим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:
   $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 2x + \Delta x$
3. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
   $\lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x$

Ответ: $2x$

б) Для функции $f(x) = -3x + 2$:

1. Найдем приращение функции $\Delta f$:
   $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (-3(x + \Delta x) + 2) - (-3x + 2)$
   $\Delta f = -3x - 3\Delta x + 2 + 3x - 2 = -3\Delta x$
2. Составим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:
   $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-3\Delta x}{\Delta x} = -3$
3. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
   $\lim_{\Delta x \to 0} (-3) = -3$

Ответ: $-3$

в) Для функции $f(x) = 3x^2$:

1. Найдем приращение функции $\Delta f$:
   $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = 3(x + \Delta x)^2 - 3x^2$
   $\Delta f = 3(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - 3x^2 = 3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 3x^2 = 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2$
2. Составим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:
   $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{6x\Delta x + 3(\Delta x)^2}{\Delta x} = 6x + 3\Delta x$
3. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
   $\lim_{\Delta x \to 0} (6x + 3\Delta x) = 6x$

Ответ: $6x$

г) Для функции $f(x) = \frac{8}{x}$:

1. Найдем приращение функции $\Delta f$, приведя дроби к общему знаменателю $x(x + \Delta x)$:
   $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{8}{x + \Delta x} - \frac{8}{x}$
   $\Delta f = \frac{8x - 8(x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{8x - 8x - 8\Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-8\Delta x}{x(x + \Delta x)}$
2. Составим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:
   $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{-8\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-8}{x(x + \Delta x)}$
3. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
   $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-8}{x(x + \Delta x)} = \frac{-8}{x(x + 0)} = -\frac{8}{x^2}$

Ответ: $-\frac{8}{x^2}$