Номер 3.14, страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.14. Найдите с помощью алгоритма приращение функции при перехо-

де от $x_0$ к $x_0 + \Delta x$, если:

а) $f(x) = x^2 + 8;$

б) $f(x) = -2x + 7.$

Алгоритм нахождения приращения функции $\Delta f$ при переходе аргумента от $x_0$ к $x_0 + \Delta x$ заключается в вычислении разности значений функции в конечной и начальной точках:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Применим этот алгоритм для каждой из заданных функций.

а) Для функции $f(x) = x^2 + 8$:

1. Найдем значение функции в начальной точке $x_0$:
   $f(x_0) = x_0^2 + 8$
2. Найдем значение функции в конечной точке $x_0 + \Delta x$:
   $f(x_0 + \Delta x) = (x_0 + \Delta x)^2 + 8$
   Используя формулу квадрата суммы, раскроем скобки:
   $f(x_0 + \Delta x) = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 + 8$
3. Вычислим приращение функции $\Delta f$:
   $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 + 8) - (x_0^2 + 8)$
   $\Delta f = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 + 8 - x_0^2 - 8$
   После сокращения подобных членов получаем:
   $\Delta f = 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2$

Ответ: $2x_0\Delta x + (\Delta x)^2$.

б) Для функции $f(x) = -2x + 7$:

1. Найдем значение функции в начальной точке $x_0$:
   $f(x_0) = -2x_0 + 7$
2. Найдем значение функции в конечной точке $x_0 + \Delta x$:
   $f(x_0 + \Delta x) = -2(x_0 + \Delta x) + 7$
   Раскроем скобки:
   $f(x_0 + \Delta x) = -2x_0 - 2\Delta x + 7$
3. Вычислим приращение функции $\Delta f$:
   $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (-2x_0 - 2\Delta x + 7) - (-2x_0 + 7)$
   $\Delta f = -2x_0 - 2\Delta x + 7 + 2x_0 - 7$
   После сокращения подобных членов получаем:
   $\Delta f = -2\Delta x$

Ответ: $-2\Delta x$.