Номер 3.9, страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.9. Найдите производную функции, используя алгоритм:

a) $f(x) = x^2 + 1;$

б) $f(x) = -3x + 2;$

в) $f(x) = 3x^2;$

г) $f(x) = \frac{8}{x}.$

Для нахождения производной функции по алгоритму используется определение производной через предел:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

а) Для функции $f(x) = x^2 + 1$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:
   $f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + 1 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 1$
2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:
   $\Delta f = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 1) - (x^2 + 1) = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 1 - x^2 - 1 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$
3. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
   $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x)}{\Delta x} = 2x + \Delta x$
4. Вычислим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
   $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x$

Ответ: $f'(x) = 2x$

б) Для функции $f(x) = -3x + 2$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:
   $f(x + \Delta x) = -3(x + \Delta x) + 2 = -3x - 3\Delta x + 2$
2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:
   $\Delta f = (-3x - 3\Delta x + 2) - (-3x + 2) = -3x - 3\Delta x + 2 + 3x - 2 = -3\Delta x$
3. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
   $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-3\Delta x}{\Delta x} = -3$
4. Вычислим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
   $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (-3) = -3$

Ответ: $f'(x) = -3$

в) Для функции $f(x) = 3x^2$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:
   $f(x + \Delta x) = 3(x + \Delta x)^2 = 3(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) = 3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2$
2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:
   $\Delta f = (3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2) - (3x^2) = 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2$
3. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
   $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{6x\Delta x + 3(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(6x + 3\Delta x)}{\Delta x} = 6x + 3\Delta x$
4. Вычислим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
   $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (6x + 3\Delta x) = 6x$

Ответ: $f'(x) = 6x$

г) Для функции $f(x) = \frac{8}{x}$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:
   $f(x + \Delta x) = \frac{8}{x + \Delta x}$
2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:
   $\Delta f = \frac{8}{x + \Delta x} - \frac{8}{x} = \frac{8x - 8(x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{8x - 8x - 8\Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-8\Delta x}{x(x + \Delta x)}$
3. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
   $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{-8\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-8\Delta x}{\Delta x \cdot x(x + \Delta x)} = \frac{-8}{x(x + \Delta x)}$
4. Вычислим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
   $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-8}{x(x + \Delta x)} = \frac{-8}{x(x + 0)} = -\frac{8}{x^2}$

Ответ: $f'(x) = -\frac{8}{x^2}$