Номер 3.10, страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.10. Вычислите производную функции:

а) $f(x) = x^2 + 1$;

б) $f(x) = -3x + 2$;

в) $f(x) = 3x^2$;

г) $f(x) = \frac{8}{x}$ — в точках $x = -2$; $-1$; $0,5$; $8$.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = x^2 + 1$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и табличными производными. Производная суммы функций равна сумме их производных: $(u+v)' = u' + v'$.
Основные формулы, которые мы используем:

• Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$
• Производная константы: $(C)' = 0$

Применяем эти правила к нашей функции:
$f'(x) = (x^2 + 1)' = (x^2)' + (1)' = 2x^{2-1} + 0 = 2x$.
Ответ: $2x$

б) Для нахождения производной функции $f(x) = -3x + 2$ используем правило дифференцирования суммы, а также правило вынесения постоянного множителя за знак производной: $(C \cdot u)' = C \cdot u'$.
Основные формулы:

• $(u+v)' = u' + v'$
• Производная независимой переменной: $(x)'=1$
• Производная константы: $(C)'=0$

$f'(x) = (-3x + 2)' = (-3x)' + (2)' = -3(x)' + 0 = -3 \cdot 1 = -3$.
Ответ: $-3$

в) Для нахождения производной функции $f(x) = 3x^2$ используем правило вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степенной функции.
$f'(x) = (3x^2)' = 3 \cdot (x^2)' = 3 \cdot (2x) = 6x$.
Ответ: $6x$

г) Сначала найдем общую формулу производной для функции $f(x) = \frac{8}{x}$. Для этого представим функцию в виде степенной: $f(x) = 8x^{-1}$.
Используя правило вынесения постоянного множителя и формулу для производной степенной функции, получаем:
$f'(x) = (8x^{-1})' = 8 \cdot (x^{-1})' = 8 \cdot (-1)x^{-1-1} = -8x^{-2} = -\frac{8}{x^2}$.
Теперь вычислим значения производной в заданных точках, подставляя их в полученное выражение для $f'(x)$:

• При $x = -2$: $f'(-2) = -\frac{8}{(-2)^2} = -\frac{8}{4} = -2$.
• При $x = -1$: $f'(-1) = -\frac{8}{(-1)^2} = -\frac{8}{1} = -8$.
• При $x = 0,5$: $f'(0,5) = -\frac{8}{(0,5)^2} = -\frac{8}{0,25} = -\frac{8}{1/4} = -32$.
• При $x = 8$: $f'(8) = -\frac{8}{8^2} = -\frac{8}{64} = -\frac{1}{8}$.

Ответ: значения производной в точках $x = -2; -1; 0,5; 8$ равны соответственно $-2; -8; -32; -\frac{1}{8}$.