Номер 3.13, страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.13. Для функции $f(x) = 3x^2 - 6x$ найдите:

а) приращение функции при переходе от $x_0$ к $x_0 + \Delta x$;

б) приращение функции, если $x_0 = 1; \Delta x = 0,1$;

в) отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$;

г) к чему стремится отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$, если $\Delta x$ стремится к нулю;

д) производную функции;

е) производную функции в точке $x = 5$.

Дана функция $f(x) = 3x^2 - 6x$.

а) приращение функции при переходе от $x_0$ к $x_0 + \Delta x$;

Приращение функции $\Delta f$ по определению равно разности значений функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x$:

$f(x_0 + \Delta x) = 3(x_0 + \Delta x)^2 - 6(x_0 + \Delta x)$

Раскроем скобки:

$f(x_0 + \Delta x) = 3(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) - 6x_0 - 6\Delta x$

$f(x_0 + \Delta x) = 3x_0^2 + 6x_0\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 6x_0 - 6\Delta x$

Значение функции в точке $x_0$ равно:

$f(x_0) = 3x_0^2 - 6x_0$

Теперь найдем разность:

$\Delta f = (3x_0^2 + 6x_0\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 6x_0 - 6\Delta x) - (3x_0^2 - 6x_0)$

$\Delta f = 3x_0^2 + 6x_0\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 6x_0 - 6\Delta x - 3x_0^2 + 6x_0$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$\Delta f = 6x_0\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 6\Delta x$

Ответ: $\Delta f = 6x_0\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 6\Delta x$.

б) приращение функции, если $x_0 = 1; \Delta x = 0,1$;

Для нахождения приращения функции подставим значения $x_0 = 1$ и $\Delta x = 0,1$ в формулу, полученную в пункте а):

$\Delta f = 6(1)(0,1) + 3(0,1)^2 - 6(0,1)$

$\Delta f = 0,6 + 3(0,01) - 0,6$

$\Delta f = 0,03$

Ответ: 0,03.

в) отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$;

Для нахождения отношения разделим выражение для $\Delta f$ из пункта а) на $\Delta x$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{6x_0\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 6\Delta x}{\Delta x}$

Вынесем $\Delta x$ за скобки в числителе и сократим дробь (при условии, что $\Delta x \neq 0$):

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x(6x_0 + 3\Delta x - 6)}{\Delta x} = 6x_0 + 3\Delta x - 6$

Ответ: $6x_0 + 3\Delta x - 6$.

г) к чему стремится отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$, если $\Delta x$ стремится к нулю;

Найдем предел отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ при $\Delta x \to 0$. Этот предел по определению является производной функции в точке $x_0$.

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (6x_0 + 3\Delta x - 6)$

Поскольку при $\Delta x \to 0$ слагаемое $3\Delta x$ также стремится к нулю, получаем:

$\lim_{\Delta x \to 0} (6x_0 + 3\Delta x - 6) = 6x_0 - 6$

Ответ: $6x_0 - 6$.

д) производную функции;

Производная функции $f'(x)$ является результатом вычисления предела из пункта г) для произвольной точки $x$ (вместо $x_0$).

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = 6x - 6$

Также производную можно найти, используя стандартные правила дифференцирования:

$f'(x) = (3x^2 - 6x)' = (3x^2)' - (6x)' = 3 \cdot (x^2)' - 6 \cdot (x)' = 3 \cdot 2x - 6 \cdot 1 = 6x - 6$

Ответ: $f'(x) = 6x - 6$.

е) производную функции в точке $x = 5$.

Для нахождения значения производной в точке $x = 5$ подставим это значение в выражение для производной, полученное в пункте д):

$f'(x) = 6x - 6$

$f'(5) = 6(5) - 6 = 30 - 6 = 24$

Ответ: 24.