Номер 3.16, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

а) $f(x) = x^2 + 8$;

1. Найдем приращение функции $\Delta f$. Это разность значений функции в точках $x + \Delta x$ и $x$:
$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = ((x + \Delta x)^2 + 8) - (x^2 + 8)$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\Delta f = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 8 - x^2 - 8 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$.

2. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}$.
Вынесем в числителе общий множитель $\Delta x$ за скобки и сократим дробь (это возможно, так как $\Delta x \to 0$, но $\Delta x \neq 0$):
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x)}{\Delta x} = 2x + \Delta x$.

3. Найдем предел полученного отношения, когда $\Delta x$ стремится к нулю:
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x$.

Таким образом, при $\Delta x \to 0$ отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ для функции $f(x) = x^2 + 8$ стремится к $2x$.

Ответ: $2x$.

б) $f(x) = -2x + 7$,

1. Найдем приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (-2(x + \Delta x) + 7) - (-2x + 7)$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\Delta f = -2x - 2\Delta x + 7 + 2x - 7 = -2\Delta x$.

2. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-2\Delta x}{\Delta x} = -2$.

3. Найдем предел этого отношения, когда $\Delta x$ стремится к нулю. Так как выражение не зависит от $\Delta x$, его предел равен самому выражению:
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-2) = -2$.

Таким образом, при $\Delta x \to 0$ отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ для функции $f(x) = -2x + 7$ стремится к $-2$.

Ответ: $-2$.