Номер 3.27, страница 229 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.27. Решите неравенство $(x^2 - 4)(x^2 - 5x - 6) < 0$.

Для решения неравенства $(x^2 - 4)(x^2 - 5x - 6) < 0$ необходимо разложить на множители левую часть. Это произведение двух квадратных трехчленов.

1. Разложение на множители первого выражения $(x^2 - 4)$

Первый множитель $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$

2. Разложение на множители второго выражения $(x^2 - 5x - 6)$

Второй множитель $(x^2 - 5x - 6)$ — это квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители, найдем его корни, решив квадратное уравнение $x^2 - 5x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Теперь разложим трехчлен на множители по формуле $ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$:

$x^2 - 5x - 6 = 1 \cdot (x - (-1))(x - 6) = (x+1)(x-6)$

3. Решение неравенства методом интервалов

Подставим полученные разложения в исходное неравенство:

$(x-2)(x+2)(x+1)(x-6) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули функции, стоящей в левой части, то есть корни уравнения $(x-2)(x+2)(x+1)(x-6) = 0$.

Корни: $x = 2$, $x = -2$, $x = -1$, $x = 6$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $-2, -1, 2, 6$.

Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов. Так как неравенство строгое (знак $<$ ), все точки являются выколотыми.

Определим знак выражения в каждом из интервалов. Можно взять по одной пробной точке из каждого интервала, либо определить знак в крайнем правом интервале и далее чередовать знаки, так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1).

• Интервал $(6; +\infty)$: возьмем $x=10$. $(10-2)(10+2)(10+1)(10-6) = (+)(+)(+)(+) = +$.
• Интервал $(2; 6)$: знаки чередуются, значит, будет $-$.
• Интервал $(-1; 2)$: знаки чередуются, значит, будет $+$.
• Интервал $(-2; -1)$: знаки чередуются, значит, будет $-$.
• Интервал $(-\infty; -2)$: знаки чередуются, значит, будет $+$.

Схема знаков на числовой оси выглядит так:

+ | - | + | - | +

-------(-2)-------(-1)-------(2)-------(6)-------> x

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля, то есть те, где стоит знак "минус".

Это интервалы $(-2; -1)$ и $(2; 6)$.

Решением неравенства является объединение этих интервалов.

Ответ: $x \in (-2; -1) \cup (2; 6)$.