Номер 3.24, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.24. Решите уравнение

$\frac{1-9x}{x^2+2x-3} + \frac{3x-1}{x-1} = \frac{2x}{x+3}$

Для решения данного рационального уравнения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить Область Допустимых Значений (ОДЗ)

Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю. Поэтому мы должны исключить значения $x$, которые обращают знаменатели в ноль.

• $x^2 + 2x - 3 \neq 0$
• $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
• $x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

Чтобы решить неравенство $x^2 + 2x - 3 \neq 0$, разложим квадратный трёхчлен на множители. Для этого найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -3. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Следовательно, $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$.

Таким образом, ОДЗ определяется условиями: $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

2. Приведение к общему знаменателю и решение уравнения

Запишем исходное уравнение, используя разложение знаменателя на множители:

Общий знаменатель для всех дробей - это $(x - 1)(x + 3)$. Умножим обе части уравнения на этот общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей. Это преобразование является равносильным в пределах ОДЗ.

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение:

Приведем подобные слагаемые:

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

Решим это квадратное уравнение. Снова можно применить теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Отсюда находим корни:

$x_1 = -2$

$x_2 = 1$

3. Проверка корней на соответствие ОДЗ

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условиям ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -3$).

• Корень $x_1 = -2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-2 \neq 1$ и $-2 \neq -3$.
• Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x = 1$ знаменатели двух дробей в исходном уравнении обращаются в ноль. Следовательно, $x = 1$ — это посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: -2