Номер 1040, страница 233 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1040. Проволочная квадратная рамка массой $m = 10 \text{ г}$ со стороной $a = 10 \text{ см}$ может вращаться вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из ее сторон. Рамка находится в однородном вертикальном магнитном поле, модуль индукции которого $B = 0,1 \text{ Тл}$. Определите силу тока, который должен протекать в проволоке, чтобы плоскость рамки составляла с вертикалью угол $\alpha = 45^\circ$.

Дано:

$m = 10 \text{ г}$
$a = 10 \text{ см}$
$B = 0.1 \text{ Тл}$
$\alpha = 45^\circ$
$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$m = 10 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.01 \text{ кг}$
$a = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$I - ?$

Решение:

Рамка находится в равновесии, когда сумма моментов сил, действующих на нее, равна нулю. На рамку действуют два вращающих момента относительно оси вращения: момент силы тяжести ($M_г$) и момент сил Ампера (магнитный момент, $M_м$).

Условие равновесия рамки:

$M_г = M_м$

Момент силы тяжести $M_г$ создается силой тяжести $F_г = mg$, приложенной к центру масс рамки. Для квадратной рамки центр масс находится в ее геометрическом центре, то есть на расстоянии $a/2$ от стороны, являющейся осью вращения. Плечо силы тяжести равно $l_г = \frac{a}{2} \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между плоскостью рамки и вертикалью. Таким образом, момент силы тяжести:

$M_г = F_г \cdot l_г = mg \frac{a}{2} \sin(\alpha)$

Момент сил Ампера $M_м$ можно определить по формуле $M_м = \mu B \sin(\theta)$, где $\mu$ — магнитный момент рамки, а $\theta$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором магнитного момента $\vec{\mu}$.

Магнитный момент рамки равен $\mu = IS = Ia^2$, где $I$ — сила тока, а $S = a^2$ — площадь рамки. Вектор магнитного момента $\vec{\mu}$ перпендикулярен плоскости рамки.

Магнитное поле $\vec{B}$ направлено вертикально. Поскольку плоскость рамки составляет угол $\alpha$ с вертикалью, то угол между нормалью к рамке (направлением $\vec{\mu}$) и вертикалью (направлением $\vec{B}$) будет $\theta = 90^\circ - \alpha$.

Тогда магнитный момент:

$M_м = Ia^2 B \sin(90^\circ - \alpha) = Ia^2 B \cos(\alpha)$

Приравниваем моменты сил из условия равновесия:

$mg \frac{a}{2} \sin(\alpha) = Ia^2 B \cos(\alpha)$

Выразим отсюда силу тока $I$:

$I = \frac{mg \frac{a}{2} \sin(\alpha)}{a^2 B \cos(\alpha)} = \frac{mg \sin(\alpha)}{2a B \cos(\alpha)} = \frac{mg \tan(\alpha)}{2aB}$

Подставим числовые значения:

$I = \frac{0.01 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \tan(45^\circ)}{2 \cdot 0.1 \text{ м} \cdot 0.1 \text{ Тл}}$

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:

$I = \frac{0.098}{0.02} = 4.9 \text{ А}$

Ответ: сила тока, который должен протекать в проволоке, равна 4.9 А.