Номер 1033, страница 231 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1033. На наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha = 30^\circ$ с горизонтом, находится прямой однородный проводник длиной $l = 40$ см и массой $m = 0,20$ кг, по которому проходит ток $I = 2,0$ А (рис. 238). К концам проводника прикреплены две невесомые пружины жесткостью $k=8,0 \frac{Н}{м}$ каждая, удерживающие проводник в покое. Определите удлинение пружин, если вектор индукции однородного магнитного поля направлен вертикально вверх и перпендикулярно проводнику. Коэффициент трения между проводником и наклонной плоскостью $\mu = 0,15$. Модуль индукции магнитного поля $B = 0,40$ Тл.

Рис. 238

Дано:

Угол наклона плоскости, $ \alpha = 30^\circ $
Длина проводника, $ l = 40 \text{ см} $
Масса проводника, $ m = 0,20 \text{ кг} $
Сила тока, $ I = 2,0 \text{ А} $
Жесткость каждой пружины, $ k = 8,0 \frac{\text{Н}}{\text{м}} $
Коэффициент трения, $ \mu = 0,15 $
Модуль индукции магнитного поля, $ B = 0,40 \text{ Тл} $
Ускорение свободного падения, $ g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} $

$ l = 40 \text{ см} = 0,40 \text{ м} $

Найти:

Удлинение пружин, $ \Delta x $.

Решение:

На проводник, находящийся в состоянии покоя, действуют следующие силы: сила тяжести $ m\vec{g} $, сила Ампера $ \vec{F_A} $, сила нормальной реакции опоры $ \vec{N} $, суммарная сила упругости двух пружин $ \vec{F_{упр}} $ и сила трения покоя $ \vec{F_{тр}} $.

Выберем систему координат, в которой ось $ OX $ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $ OY $ — перпендикулярно плоскости вверх.

Согласно условию, вектор магнитной индукции $ \vec{B} $ направлен вертикально вверх, а ток $ I $ в проводнике течет горизонтально, то есть перпендикулярно наклону плоскости. По правилу левой руки, сила Ампера $ \vec{F_A} $, действующая на проводник, направлена горизонтально и перпендикулярно самому проводнику. Модуль силы Ампера вычисляется по формуле:

$ F_A = I B l $, поскольку угол между направлением тока и вектором магнитной индукции составляет $ 90^\circ $.

Запишем первый закон Ньютона (условие равновесия) для проводника в проекциях на выбранные оси координат:

Проекция на ось $ OY $: $ N - mg \cos\alpha - F_A \sin\alpha = 0 $

Отсюда можно выразить силу нормальной реакции опоры:

$ N = mg \cos\alpha + F_A \sin\alpha $

Проекция на ось $ OX $: $ mg \sin\alpha + F_A \cos\alpha - F_{упр} - F_{тр} = 0 $

Пружины и сила трения удерживают проводник от соскальзывания вниз, поэтому сила упругости $ F_{упр} $ и сила трения $ F_{тр} $ направлены вверх по наклонной плоскости. Суммарная сила упругости двух пружин равна $ F_{упр} = 2k\Delta x $. Поскольку в задаче требуется найти определенное значение удлинения, будем считать, что система находится в состоянии предельного равновесия, то есть проводник находится на грани соскальзывания вниз. В этом случае сила трения покоя достигает своего максимального значения: $ F_{тр} = F_{тр, max} = \mu N $.

Подставим выражения для сил в уравнение для оси $ OX $:

$ mg \sin\alpha + F_A \cos\alpha - 2k\Delta x - \mu N = 0 $

Теперь подставим в это уравнение ранее полученное выражение для силы $ N $:

$ mg \sin\alpha + F_A \cos\alpha - 2k\Delta x - \mu (mg \cos\alpha + F_A \sin\alpha) = 0 $

Выразим из уравнения $ 2k\Delta x $:

$ 2k\Delta x = mg \sin\alpha + F_A \cos\alpha - \mu mg \cos\alpha - \mu F_A \sin\alpha $

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:

$ 2k\Delta x = mg(\sin\alpha - \mu \cos\alpha) + F_A(\cos\alpha - \mu \sin\alpha) $

Подставим $ F_A = I B l $ и окончательно выразим искомое удлинение $ \Delta x $:

$ \Delta x = \frac{mg(\sin\alpha - \mu \cos\alpha) + I B l(\cos\alpha - \mu \sin\alpha)}{2k} $

Выполним вычисления, подставив числовые значения:

$ \sin 30^\circ = 0,5 $; $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 $

$ \Delta x = \frac{0,20 \cdot 9,8 (\sin 30^\circ - 0,15 \cdot \cos 30^\circ) + 2,0 \cdot 0,40 \cdot 0,40 (\cos 30^\circ - 0,15 \cdot \sin 30^\circ)}{2 \cdot 8,0} $

$ \Delta x = \frac{1,96 (0,5 - 0,15 \cdot 0,866) + 0,32 (0,866 - 0,15 \cdot 0,5)}{16} $

$ \Delta x = \frac{1,96 (0,5 - 0,1299) + 0,32 (0,866 - 0,075)}{16} $

$ \Delta x = \frac{1,96 \cdot 0,3701 + 0,32 \cdot 0,791}{16} $

$ \Delta x = \frac{0,7254 + 0,2531}{16} = \frac{0,9785}{16} \approx 0,06116 \text{ м} $

Округлим результат до двух значащих цифр: $ \Delta x \approx 0,061 \text{ м} $, что равно $ 6,1 \text{ см} $.

Ответ: удлинение пружин составляет приблизительно $6,1 \text{ см}$.