Номер 1029, страница 230 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1029. Горизонтальный стержень массой $m = 50$ г и длиной $l = 30$ см удерживают в покое на гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол $\alpha$ ($\operatorname{tg} \alpha = 0,30$). Стержень находится в вертикальном однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B = 0,25$ Тл. Определите силу тока, которую надо пропустить через стержень, чтобы он оставался в покое, если его отпустить.

Дано:

$m = 50$ г

$l = 30$ см

$\text{tg}\,\alpha = 0,30$

$B = 0,25$ Тл

$g = 10$ м/с$^2$ (принимаем ускорение свободного падения равным 10 м/с$^2$)

Перевод в систему СИ:

$m = 50 \cdot 10^{-3}$ кг $= 0,05$ кг

$l = 30 \cdot 10^{-2}$ м $= 0,3$ м

Найти:

$I$ - ?

Решение:

На горизонтальный стержень, находящийся на наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости, и сила Ампера $\vec{F_A}$, действующая со стороны магнитного поля.

Поскольку стержень покоится, то по первому закону Ньютона векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:

$m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F_A} = 0$

Стержень расположен горизонтально, а магнитное поле направлено вертикально. Это означает, что угол между направлением тока в стержне и вектором магнитной индукции равен $90^\circ$. Сила Ампера, действующая на стержень, будет направлена горизонтально (согласно правилу левой руки) и ее модуль равен:

$F_A = IBl \sin(90^\circ) = IBl$

Для того чтобы стержень оставался в покое, сила Ампера должна уравновешивать скатывающую силу (компоненту силы тяжести, направленную вдоль наклонной плоскости). Выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей вверх.

Запишем уравнение равновесия в проекциях на ось $Ox$:

$mg_x - F_{Ax} = 0$

Проекция силы тяжести на ось $Ox$ равна:

$mg_x = mg \sin\alpha$

Сила Ампера $\vec{F_A}$ направлена горизонтально. Чтобы она удерживала стержень, она должна быть направлена так, чтобы ее проекция на ось $Ox$ была направлена вверх по наклонной плоскости. Проекция силы Ампера на ось $Ox$ равна:

$F_{Ax} = F_A \cos\alpha = IBl \cos\alpha$

Подставим проекции сил в уравнение равновесия:

$mg \sin\alpha - IBl \cos\alpha = 0$

Отсюда выразим силу тока $I$:

$IBl \cos\alpha = mg \sin\alpha$

$I = \frac{mg \sin\alpha}{Bl \cos\alpha} = \frac{mg}{Bl} \text{tg}\,\alpha$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$I = \frac{0,05 \cdot 10 \cdot 0,30}{0,25 \cdot 0,3} = \frac{0,5 \cdot 0,3}{0,25 \cdot 0,3} = \frac{0,5}{0,25} = 2$ А

Ответ: $2$ А.