Номер 1030, страница 230 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1030. На наклонной плоскости, образующей угол $\alpha = 30^{\circ}$ с горизонтом, находится прямой проводник длиной $l = 0,50$ м и массой $m = 0,20$ кг, по которому проходит ток $I = 10$ А. Определите модуль ускорения, с которым движется проводник по наклонной плоскости, если вектор индукции однородного магнитного поля направлен вертикально и перпендикулярно проводнику. Силой трения пренебречь. Модуль индукции магнитного поля $B = 0,10$ Тл. Рассмотрите все возможные варианты.

Дано:

$\alpha = 30^\circ$

$l = 0,50$ м

$m = 0,20$ кг

$I = 10$ А

$B = 0,10$ Тл

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$a$ — ?

Решение:

На проводник, находящийся на наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила Ампера $\vec{F_A}$. Силой трения по условию пренебрегаем.

Введем систему координат: ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно наклонной плоскости вверх.

Проекция силы тяжести на ось $Ox$ всегда направлена вниз и равна $F_{g,x} = mg \sin\alpha$.

Сила Ампера, действующая на проводник с током в магнитном поле, определяется по формуле $F_A = IBl\sin\theta$, где $\theta$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и направлением тока $\vec{I}$.

По условию, вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен вертикально, а проводник расположен на наклонной плоскости перпендикулярно вектору $\vec{B}$. Это означает, что проводник лежит на наклонной плоскости в горизонтальном положении. Таким образом, угол между направлением тока (вдоль проводника) и вертикальным вектором магнитной индукции равен $\theta = 90^\circ$. Следовательно, модуль силы Ампера равен:

$F_A = IBl$

Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки. Так как вектор тока $\vec{I}$ (вдоль проводника) горизонтален, а вектор магнитной индукции $\vec{B}$ вертикален, то сила Ампера $\vec{F_A}$ будет направлена горизонтально и перпендикулярно проводнику.

Проекция горизонтальной силы Ампера на ось $Ox$ (направленную вдоль наклонной плоскости) равна $F_{A,x} = F_A \cos\alpha = IBl \cos\alpha$.

В зависимости от взаимного направления тока в проводнике и направления магнитного поля, проекция силы Ампера на ось $Ox$ может быть направлена как вниз по наклонной плоскости, так и вверх. Рассмотрим оба возможных варианта.

Случай 1. Проекция силы Ампера направлена вниз по наклонной плоскости

В этом случае проекция силы Ампера $F_{A,x}$ совпадает по направлению с проекцией силы тяжести $F_{g,x}$. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $Ox$:

$ma_1 = F_{g,x} + F_{A,x}$

$ma_1 = mg \sin\alpha + IBl \cos\alpha$

Отсюда находим ускорение $a_1$:

$a_1 = g \sin\alpha + \frac{IBl}{m} \cos\alpha$

Подставим числовые значения, приняв $g = 9,8$ м/с$^2$:

$a_1 = 9,8 \cdot \sin(30^\circ) + \frac{10 \cdot 0,10 \cdot 0,50}{0,20} \cdot \cos(30^\circ)$

$a_1 = 9,8 \cdot 0,5 + \frac{0,5}{0,20} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4,9 + 2,5 \cdot 0,866 = 4,9 + 2,165 = 7,065$ м/с$^2$.

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

Ответ: $a_1 \approx 7,1$ м/с$^2$.

Случай 2. Проекция силы Ампера направлена вверх по наклонной плоскости

В этом случае проекция силы Ампера $F_{A,x}$ направлена противоположно проекции силы тяжести $F_{g,x}$. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $Ox$:

$ma_2 = F_{g,x} - F_{A,x}$

$ma_2 = mg \sin\alpha - IBl \cos\alpha$

Отсюда находим ускорение $a_2$:

$a_2 = g \sin\alpha - \frac{IBl}{m} \cos\alpha$

Подставим числовые значения:

$a_2 = 9,8 \cdot \sin(30^\circ) - \frac{10 \cdot 0,10 \cdot 0,50}{0,20} \cdot \cos(30^\circ)$

$a_2 = 4,9 - 2,5 \cdot 0,866 = 4,9 - 2,165 = 2,735$ м/с$^2$.

Так как значение $a_2$ положительно, проводник все равно будет двигаться с ускорением вниз по наклонной плоскости, но с меньшим ускорением.

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

Ответ: $a_2 \approx 2,7$ м/с$^2$.